Leader (and sub Leader) Election per uniformare e ... - Automatica

CR(k) = βΦ(Xr(k))
X(k) +
1
.
1
Per finire specifichiamo che CNR(k) é il costo
relativo ai messaggi ricevuti da parte dei nodi
non radice:
CNR(k) = α(I − Φ(Xr(k)))
X(k) +
1
.
1
Ricordiamo inoltre che Xr(k) é il vettore che
indica quale nodo é la radice all’istante k.
6.3 Il funzionale J(•) modificato.
Ricordiamo ora la definizione del funzionale
J1(•) introdotto all’inizio della trattazione del
controllo della rete:
J1(T ) = (VT − V Media
T
In tale formula si era posto:
V Media
T
= [1···1]
N ∗ VT ∗
) T ∗ (VT − V Media)
1
.
1
Dove N é il numero di stati del sistema.
Grazie a tale funzionale ed al funzionale J0(•)
si era riusciti a definire il funzionale finale
J(•) come somma dei due. Notiamo che la
presenza di J0(•) non é piú necessaria a causa
dell’impiego della tecnica Sensor-Fusion. Il
ruolo del funzionale che ora viene omesso
era quello di tenere il piú limitato possibile
il numero di messaggi transitanti nella rete.
Tale compito viene ora reso inutile perché
nella tecnica Sensor-Fusion ogni nodo invia
solo un messaggio ad esclusione del nodo
che sará radice al passo che segue l’istante di
invio. Quindi nella rete in questione con N
nodi in ogni istante discreto k si nota l’invio
di (N − 1) messaggi. Detto ció é ragionevole
voler minimizzare il seguente funzionale:
J(T ) = J1(T )
Visto che il numero di messaggi circolanti
é limitato allora si vuole solamente fare in
modo che il vettore VT presenti componenti
T
di valore il piú vicino possibile ad un valore
comune. Nei metodi precedenti questa scelta
del funzionale da minimizzare non era
sufficente perché in tale situazione vi era la
possibilitá di trovare una legge di controllo
che minimizzando il funzionale in questione
(J1) aumentasse tantissimo il numero di
messaggi presenti nella rete. Fissiamo quindi
il funzionale che utilizzeremo nel seguito come:
J(T ) = J1(T ) = V T
T ∗
IN − ones(N)
N
∗ VT
Notiamo che J(T ) é una forma quadratica
semidefinita positiva in VT . Viene lasciata al
lettore la semplice verifica del fatto che la
matrice di J(T ) presenta un solo autovalore
nullo con relativo autovettore [1 . . . 1] T mentre
tutti gli altri autovalori sono pari ad 1.
6.4 Tutorial, commenti dei risultati e modifiche.
Per fare girare la simulazione basta mettere
come Current Directory in MATLAB la cartella
SensorFusionUniformitaFlussoTempoInter-
Radice. Aperta tale directory si deve avviare
il file SimulazioneUniformitaFlussoSensorFusionTempoInterRadice.m.
Si avranno da visionare
due schermate attraverso le stesse
modalitá introdotte per la simulazione UniformitáFlusso.
La simulazione é stata eseguita sul
grafo di FIGURA 10.
Portiamo subito il lettore a conoscenza del fatto
che utilizzando il vettore VT sopra definito in
una prova di simulazione si é ottenuto un
andamento del funzionale J(T ) con presenza
di un drift con andamento parabolico. In FIGU-
RA 17 il grafico blu tratteggiato rappresenta
l’andamento di J(T ) nel caso non reazionato,
i grafici giallo e verde sono rispettivamente
quelli dei casi con retroazione con TempoInteradice
pari al numero di livelli dell’albero e
con TempoInteradice unitario. Negli ultimi due
grafici si nota la presenza del drift parabolico
accennato in precedenza. Gli altri grafici
sono quelli relativi a retroazioni con differenti
TempoInteradice. Negli ultimi grafici permane
il drift parabolico e si nota che tra due cambi
di radice consecutivi J(T ) é costituito da degli
26