Leader (and sub Leader) Election per uniformare e ... - Automatica

Ribadiamo ora tale procedimento introdotto in
sezione 2.5.3 :
• Scatta l’istante discreto k
• Tutti i nodi ricevono i messaggi XR(k) all’istante
discreto k ed anche i loro messaggi
di misura U(k)
• I messaggi ricevuti all’istante k vengono
preparati per il prossimo invio. Il nodo jesimo
che é radice all’istante k elabora i
messaggi ricevuti X (j)
R (k) ed il messaggio
di misura che ha anch’esso ricevuto.
• Quindi all’istante k i nodi inviano i messaggi
verso la radice all’istante (k + 1)
definita da (Xr(k + 1)). Il nodo che sará
radice all’istante (k + 1) invia zero messaggi
all’istante k. Se il nodo che é radice
all’istante k non é radice all’istante (k + 1)
allora tale nodo invia un unico messaggio
risultato dalle sue operzioni.
Commentiamo ancora la scelta fatta per
il vettore VT . Ammettiamo che potrebbe
sembrare poco chiaro il motivo della presenza
di XR(T + 1) all’interno della formula che
definisce VT . Tale scelta é stata fatta al fine
di includere nel vettore VT tutti i termini
che rappresentano un dispendio energetico
i quali dipendono da Xr(k) con k che
arriva fino a (T + 1). Se noi avessimo preso
VT = T k=0 [XR(k) + Xi(k) + U(k)] avremmo
avuto in tale somma la presenza di termini
dipendenti da Xr(k) con k che arriva fino a
(T + 1), peró anche XR(k + 1) dipende da
Xr(k + 1) quindi prendiamo anch’esso al fine
di inglobare in VT tutti e soli i termini definiti
completamente da Xr(k) con k che va da 0 a
(T + 1). Per dare ridondanza all’informazione
rispieghiamo quanto appena detto in termini
differenti. Quello che vogliamo fare in sostanza
é prendere una successione di Xr(k), avere un
funzionale che dica quanta energia totalmente
spendo in funzione della scelta dei Xr(k)
(quindi devo avere anche XR(T + 1)) e trovare
quale successione di Xr(k) minimizza il
funzionale. Notiamo che non si sa a priori se
il minimo esiste. Per definizione prendiamo
come funzionale di costo J0 il seguente:
J0(T ) = (VT ) T ∗ VT
Il quale non é altro che il quadrato della norma
del vettore la cui componente j-esima rappresenta
la energia spesa dal nodo j-esimo a partire
dall’istante 0 fino all’istante T.
3.2.2 Il funzionale di costo J1(•).
Notiamo che la richiesta di equidistribuzione
del dispendio energetico nel corso
dell’evoluzione della rete equivale a richiedere
che nel corso della evoluzione della rete stessa
la quantitá di energia spesa dal singolo nodo
vari nel tempo ma sia una costante tra i vari
sensori. Idealmente si vorrebbe quindi che
tutti i nodi abbiano sempre lo stesso livello
energetico o equivalentemente che tutti i
nodi consumino sempre la stessa energia.
Ricordiamo che VT é il vettore rappresentante
il livello energetico dei vari nodi. Quanto
appena detto si traduce nella richiesta di voler
minimizzare in un certo senso la varianza
delle componenti del vettore VT . Definiamo il
seguente vettore:
V Media
T
= [1···1]
N ∗ VT ∗
1
.
1
Dove N é il numero di stati del sistema. Notiamo
che tale vettore ha ogni elemento pari
alla media aritmetica di tutti gli elementi del
vettore VT . Notiamo inoltre che il vettore (VT −
V Media
T ) non é a componenti tutte positive.
Dopo quanto detto fino ad ora risulta immediata
l’introduzione del funzionale J1(•):
J1(T ) = (VT − V Media
T
) T ∗ (VT − V Media)
3.2.3 Il funzionale di costo J(•).
Ricordiamo che il nostro obbiettivo é quello
di limitare il dispendio complessivo della
rete, quindi minimizzare JT (•) possibilmente
per qualsiasi T, e limitare la differenza tra i
vari livelli energetici dei sensori componenti
la rete, quindi minimizzare J1(•). Notiamo
che minimizzare uno dei due funzionali
appena ricordati non significa minimizzare
anche l’altro. Infatti i vari sensori potrebbero
essere governati da una legge di controllo
che faccia spendere a loro la stessa quantitá
di energia la quale potrebbe essere molto
elevata. Inoltre si potrebbe anche pensare ad
T
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