Leader (and sub Leader) Election per uniformare e ... - Automatica

Il sistema lineare appena scritto ammette
quindi una unica soluzione che in generale puó
avere componenti di segno qualsiasi. Notiamo
peró che vale la seguente implicazione:
(nj ≥ 0 ∀ j)∧(λ > (α+1)∗(T +1)) ⇒ ( nj ≥ 0 ∀ j)
Quindi per il conseguimento del nostro
scopo non é sufficente trovare la soluzione
n = Q −1 ∗ ∆ in quanto tale soluzione puó
presentare componenti di valore negativo
bensí si vuole trovare il vettore a componenti
positive che in un certo senso approssima
meglio la soluzione del sistema lineare. Si
vuole quindi trovare il vettore n tale che la
norma di (∆ − Q ∗ n) sia minima. Attraverso
l’utilizzo della norma due si puó quindi
scrivere:
n = argmin ∆ − Q ∗ n 2
2
n ≥ 0
= argmin
Q ∗ (Q−1
∗ ∆ − n)
n ≥ 0
= −argmin Q ∗ C 2
2 + Q−1 ∗ ∆
C ≤ Q −1 ∗ ∆
= −argmin C T Q T QC + Q −1 ∆
C ≤ Q −1 ∗ ∆
= Q −1 ∆ − C
Si riconosce subito che trovare C é un
problema di programmazione quadratica che
puó essere risolto attraverso una moltitudine
notevole di metodi. In sede di simulazione non
é stato sviluppato un algoritmo di risoluzione
dei problemi di programmazione quadratica
ma ci si é appoggiati a MATLAB il quale per
risolvere questa tipologia di problemi fornisce
la funzione “quadprog()“.
Dopo aver trovato il valore di n si puó ricavare
facilmente il valore di β. Infatti:
T + 1 = N j=1 [nj] = N nj
j=1 [ β ]
⇒ β = ∆T ∗n
T +1
Grazie al risultato dell’ultimo calcolo si
puó trovare finalmente:
C
2
2
n = n
β
Notiamo che il vettore n é a componenti positive
peró non é detto che sia a componenti
naturali. Ricordiamo che la componente jesima
del vettore appena trovato rappresenta
il numero di istanti in cui il nodo j-esimo deve
permanere nello stato di radice. Notiamo che é
non influente ai fini che ci siamo posti l’ordine
nel quale si mettono come radice i vari nodi.
Da quanto detto risulta doveroso approssimare
il vettore a componenti reali appena trovato
con un vettore a componenti positive ed intere.
Questa approssimazione é stata realizzata
direttamente attraverso un casting delle componenti
del vettore n, quindi si é sostituito
ogni elemento del vettore n con il naturale piú
vicino ad esso. L’errore che si commette con
tale metodo é in generale piccolo in quanto le
componenti di n che si trovano sono di solito
tutte molto maggiori di 1 e quindi la loro parte
decimale é trascurabile rispetto alla loro parte
intera.
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