Leader (and sub Leader) Election per uniformare e ... - Automatica

Prima di poter fare un esempio con radice
mobile dobbiamo notare che l’equazione di aggiornamento
dello stato deve essere modificata.
Tale equazione é senza dubbio corretta nel caso
di radice fissa peró non da una rappresentazione
appropriata della rete nel momento in
cui consideriamo la radice libera di muoversi
attraverso la rete stessa. Per comprendere
questo fatto notiamo che se un nodo A é
radice all’istante k-esimo, riceve n messaggi
e all’istante (k + 1) tale nodo non sará piú
radice allora seguendo la formula introdotta
precedentemente il nodo A reinvierá i messaggi
ricevuti piú il suo messaggio di misura verso
quello che sará il nuovo nodo radice e quindi
A reinvierá (n+1) messaggi. Ció non é corretto
perché se all’istante k il nodo A era radice
allora tale nodo avrá eseguito delle operazioni
sui dati che gli sono arrivati e quindi sará sufficiente
che esso invii solamente un messaggio
verso la nuova radice. Tale messaggio dovrá
contenere l’informazione necessaria alla nuova
radice per continuare i vari calcoli preposti alle
radici. La formula di aggiornamento dello stato
viene cosí modificata:
X(k + 1)
=
Ma(k + 1) ∗ ((I − Φ (Xr(k))) ∗ X(k) + U(k))
Notiamo che se consideriamo il caso di
radice fissa la ultima formula introdotta si
riconduce alla prima. Notiamo inoltre che se un
nodo é radice ad un certo istante ed all’istante
successivo non é piú radice allora manda un
solo messaggio e che se un nodo ad un certo
istante non é radice ma all’istante successivo
esso diventa radice allora non manda messaggi
ma si tiene l’informazione che gli servirá per
fare i calcoli all’istante successivo. Si é voluto
in questa sede introdurre per gradi la formula
di evoluzione di stato al fine di cercare di
renderne meno pesante la comprensione. In
definitiva l’ultima formula é quella corretta.
Riportiamo in FIGURA 8 un esempio di
evoluzione del sistema. In tale esempio
durante l’evoluzione del sistema stesso il ruolo
di radice é stato assegnato in sequenza ai nodi
4) 5) 3) e poi é rimasto al nodo 1). Si nota come
la natura di tale sistema sia piuttosto caotica
ed accenniamo che in un certo senso ci siamo
messi in condizioni di una certa stabilitá per
fare l’esempio in questione.
Figura 8. Evoluzione dello stato della rete con radice in
posizione mobile e tecnica di reinvio totale dei messaggi.
2.7.5 Equazione di aggiornamento dello stato
per reti con reinvio dei messaggi di tipo Sensor-
Fusion.
In tale sede introdurremo la formula di aggiornamento
dello stato per reti con reinvio dei
messaggi di tipo Sensor-Fusion. L’idea base di
tale tecnica é giá stata spiegata. Inoltre dopo
quanto detto nella sezione appena precedente
discende direttamente la seguente formula:
X(k + 1) = Ma(Mg, Xr(k + 1)) ∗
1
.
1
Questa formula deriva direttamente dal fatto
che nella tecnica Sensor-Fusion ogni nodo
manda un solo messaggio ad ogni istante
di invio. Notiamo che il sistema rimane non
lineare e che grazie al prodotto per Ma(•) se
un nodo all’istante (k + 1) sará radice allora
tale nodo all’istante k non invia messaggi.
Notiamo inoltre che lo stato all’istante (k + 1)
non dipende dallo stato agli istanti precedenti.
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