Leader (and sub Leader) Election per uniformare e ... - Automatica

una costante moltiplicativa come:
1
.
1
+ α ∗
M ∗ V (k) ∗
1
.
1
+
1
.
1
dove α é la costante introdotta in sezione
6.2 .Tale formulazione dell’energia spesa al
passo k-esimo nasconde due approssimazioni:
viene ipotizzato che il costo relativo alle
operazioni che la radice compie sui messaggi
ricevuti sia lo stesso del costo delle operazioni
di fusione dei messaggi compiute dai nodi
non radice, inoltre si compie una seconda
approssimazione considerando come vettore
dei messaggi inviati un vettore con tutti
elementi 1 mentre si sa che solamente (N − 1)
messaggi vengono inviati al generico istante
k e quindi si sarebbe dovuto considerare un
vettore di elementi pari a 1 ad eccezione di un
elemento che avrebbe dovuto essere 0.
Chiariti i punti appena introdotti e definito
con ∆ il vettore colonna costituito solo da
elementi pari a 1 si nota che l’energia spesa
dai vari nodi a partire dall’istante iniziale fino
all’istante T si puó scrivere come:
T k=0 {∆ + α ∗ (M ∗ V (k) ∗ ∆ + ∆)} =
= T k=0 {α ∗ M ∗ V (k) ∗ ∆ + (α + 1) ∗ ∆} =
= α∗M ∗ T k=0 {V (k)}∗∆+(α+1)∗(T +1)∗∆ =
= λ ∗ ∆
dove λ é una qualche costante. Notiamo
subito che λ > (α + 1) ∗ (T + 1). Fino a questo
punto si é semplicemente riscritto l’energia
spesa fino all’istante T e la si é posta uguale ad
un vettore con le componenti di ugual valore.
Ribadiamo che si vogliono all’istante finale
tutti i nodi con la stessa energia spesa a partire
dall’istante iniziale di evoluzione della rete.
Notiamo che dall’ultima uguaglianza scritta
discende la seguente equazione:
M ∗ T λ−(α+1)∗(T +1)
k=0 {V (k)} ∗ ∆ = ∗ ∆
α
Tale equazione puó essere riscritta in forma
diversa se si nota che :
T k=0 {V (k)} ∗ ∆ =
⎡
⎣
∆ ∗ n1
.
∆ ∗ nN
dove nj rappresenta il numero di volte che
viena attribuita la carica di radice al nodo
j-esimo. Notiamo che il vettore a secondo
membro ha N 2 righe ma sopratutto riportiamo
la seguente relazione tra T ed i vari nj:
N
j=1 [nj] = T + 1
Dopo quanto detto si puó riscrivere l’equazione
lascita in sospeso come:
M ∗
⎡
⎢
⎣
∆ ∗ n1 ∗
∆ ∗ nN ∗
α
λ−(α+1)∗(T +1)
.
α
λ−(α+1)∗(T +1)
⎤
⎤
⎦
⎥
⎦ = ∆
Introduciamo ora il cambiamento di variabili
seguente:
nj = nj ∗
α
λ−(α+1)∗(T +1) = nj ∗ β
Grazie a questo cambiamento di variabili
é abbastanza facile riuscire a capire che la
equazione in questione si puó riscrivere ancora
una volta come:
dove si é posto:
Q ∗
⎡
⎢
⎣
n1
n2
.
nN
⎤
⎥
⎦ = ∆
Q = [Ma(Xr = x1) ∗ ∆| . . . |Ma(Xr = xN) ∗ ∆]
L’elemento qij della matrice Q rappresenta
il numero di figli nel nodo i-esimo nella
configurazione della rete con nodo radice
j-esimo. Ragionando su questo fatto si puó
affermare che le colonne della matrice Q sono
linearmente indipendenti e quindi Q risulta
invertibile.
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