Leader (and sub Leader) Election per uniformare e ... - Automatica

3 CONTROLLO DELLA RETE CON REIN-
VIO TOTALE DEI MESSAGGI TRAMITE
TECNICA UNIFORMITÁFLUSSO.
3.1 Introduzione all’approccio di controllo.
In tale sede ci prepariamo ad affrontare la
ricerca della legge di controllo che impone
quale nodo debba essere la radice al variare
degli istanti temporali di evoluzione della rete.
Quanto si é fatto cerca almeno in linea di
principio di ricalcare il procedimento giá visto
per il controllo ottimo. Nella fattispecie peró
siamo in presenza di una tipologia differente di
sistemi rispetto a quella vista in tale metodologia
di controllo. Ricordiamo a tale scopo che il
sistema in questione é un sistema fortemente
non lineare nel quale lo stato e l’ingresso sono
vincolati a poter assumenre solamente una
limitata gamma di valori che appartengono
quindi ad insiemi dotati di limitate proprietá
geometriche. Senza entrare troppo nel dettaglio
notiamo che l’insieme dei valori assumibili dall’ingresso,
ovvero l’insieme dei vettori a componenti
nulle ad eccezione di una che vale uno,
non é nemmeno un gruppo abelliano secondo
le canoniche operazioni algebriche.
Il procedimento seguito ha come punto di
partenza la definizione di un funzionale di
costo appropriato e da tale funzionale di costo
attraverso un procedimento di minimizzazione
si ricaverá la legge di controllo cercata. Chiameremo
la tecnica di controllo che definiremo
nel seguito con il nome di tecnica Uniformitá
flusso.
3.2 Definizione del funzionale di costo J(•).
Ricordiamo ora che il nostro obbiettivo é far
consumare alla rete la minor energia possibile
e fare in modo che il consumo di energia sia
il maggiormente possibile equidistribuito tra i
vari nodi. Introduciamo a tale scopo due funzionali
che serviranno per definire il funzionale
da minimizzare.
3.2.1 Il funzionale di costo J0(•).
Nel caso di evoluzione della rete con reinvio
totale di messaggi si puó pensare che la
energia spesa da un singolo nodo all’istante
T sia proporzionale al numero di messaggi
ricevuti ed inviati in tale istante. Notiamo
quindi che il vettore la cui componente j-esima
rappresenta la energia spesa dal nodo j-esimo
a partire dall’istante 0 fino all’istante T si puó
scrivere a meno di una costante moltiplicativa
come:
VT = T
k=0 [XR(k) + Xi(k) + U(k)] + XR(T + 1)
dove XR(k) é il vettore di stato che indica
il numero di messaggi ricevuti all’istante k
inviati da altri nodi, U(k) invece é il vettore dei
messaggi di misura che per ipotesi viene preso
con componenti tutte pari ad uno mentre Xi(k)
é il vettore la cui componente j-esima indica il
numero di messaggi inviati dal nodo j-esimo
all’istante k. L’ultimo vettore si puó scrivere
come:
Xi(k) = [I − Φ (Xr(k + 1))] ∗
{[I − Φ (Xr(k))] ∗ XR(k) + U(k)}
dove Xr(k) é il vettore a componenti nulle ad
eccezione della componente in corrispondenza
al nodo che é radice all’istante k la quale
assume valore uno. Marchiamo ora la formula
appena scritta perché visto che abbiamo una
comunicazione sicura si potrebbe pensare
ERRONEAMENTE che i messaggi che invio
ad un istante arrivano tutti a destinazione
all’istante successivo e da questo fatto trarre la
conclusione SBAGLIATA che Xi(k) = XR(k+1).
La formula corretta precedentemente scritta
seppur piuttosto semplice potrebbe non venire
compresa perfettamente se non risulta chiaro
il procedimento di invio dei messaggi.
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