Leader (and sub Leader) Election per uniformare e ... - Automatica

Chang e Roberts, e’ un algoritmo di tipo
comparativo per un anello unidirezionale di
taglia sconusciuta, sul quale siano definiti gli
UID per ogni nodo.
Ora una breve spiegazione del suo
funzionamento e dimostrazione del
funzionamento della sua versione classica,
prima di addentrarsi nelle versioni modificate.
Ogni processo trasmette il proprio UID
nell’anello, ogni processo che riceve un UID lo
confronta con il proprio:
• se l’UID ricevuto e’ maggiore del proprio,
il processo mantiene il proprio UID
e trasmette l’UID ricevuto,
• se l’UID ricevuto e’ minore del proprio, il
processo trasmette il proprio UID,
• se sono uguali il processo passa nello stato
di leader.
Dato imax il processo con il massimo UID
(umax), e’ sufficente dimostrare i seguenti due
lemmi:
Lemma 1: Il processo imax e’ il leader dopo n
transizioni.
Dimostrazione
Il processo imax ha valore di UID umax, che e’
il massimo di tutto lanello, e’ allora sufficente
dimostrare che:
Dopo n transizioni lo stato di imax = leader.
Per r tale che 0 ≤ r ≤ n − 1, dopo r transizioni
il processo imax + r trasmettera’ umax. si
dimostra per induzione su r.
Per r = 0, imax trasmette umax, dato che
dopo nessuna transizione ha ricevuto alcun
messaggio in input.
Il passo induttivo si basa sul fatto che ogni
nodo, eccetto imax, accetta il massimo valore e
poi lo ritrasmette.
Lemma 2: Nessun altro processo (oltre a imax)
e’ nello stato di leader.
Dimostrazione
E’ noto che tutti gli altri nodi sono sempre
nello stato unknown. Se i e j sono due processi
distinti dell’anello, si definisce [i, j) l’insieme di
indici i, i + 1, ..., j − 1 (dove le addizioni sono
in modulo n). [i, j) e’ l’insieme di processi
sucessivi ad i in senso orario fino a j − 1.
L’asserzione sucessiva dice che nessun UID
v puo’ raggiungere un processo tra imax e il
generatore di v.
Asserzione 1: Per ogni r e ogni i, j. Dopo r
transizioni, se i = imax e j ∈ [imax, i) allora j
non trasmettera’ ui.
che e’ verificato dal fatto che essendo umax
maggiore di tutti gli UID della rete, ui non
potra’ mai attraversare il processo imax e
raggiungere i.
E’ quindi dimostrato che l’algoritmo LCR
risolve il problema di leader - election.
Analisi delle complessita’
Il numero di transizioni necessarie allalgoritmo
e’: T (n) = Θ(n)
e il numero di messaggi prodotti dalla rete e’:
M(n) = Θ(n 2 ).
Terminata l’elezione il processo leader puo’
inviare un messaggio di repeat sulla rete
consentendo ai processi esitanti (quelli che
non si sono dichiarati leader) di dichiararsi
non-leader. Cio’ raddoppia il tempo di
esecuzione dell’algoritmo e aumenta il numero
di messaggi di un addendo Θ(n) , ma ogni
processo puo’ cosi’ definire esattamente il suo
stato, e se dispone di una cella di memoria
atta allo scopo memorizzare quale sia il nodo
leader.
9.7.2 Algoritmo LCR-smart [anello
unidirezionale]
E’ una variante dell’algoritmo LCR che permette
una riduzione dei messaggi inviati, ma
nessuna riduzione in termini di tempo, cio’
avviene modificando il processo di confrontotrasmissione
degli UID:
ogni processo trasmette il proprio UID nell’anello,
ogni processo che riceve un UID lo
confronta con il proprio:
• se l’UID ricevuto e’ maggiore del proprio,
il processo mantiene il proprio UID
e trasmette l’UID ricevuto,
• se l’UID ricevuto e’ minore del proprio, il
processo mantiene il proprio UID e non
trasmette alcun UID,
38