Leader (and sub Leader) Election per uniformare e ... - Automatica

varie matrici Pi sono tutte matrici quadrate
delle stesse dimensioni della matrice Ma e
quindi anche delle stesse dimensioni della
matrice Mg. Inoltre tali matrici Pi sono
costituite da elementi che possono assumere
solamente valore 1 oppure valore zero. Questo
fatto deriva direttamente dalle operazioni che
portano ad ottenere le matrici in questione a
partire dalla Mg. Per ottenere una particolare
Pi infatti non si fa altro che annullare alcune
righe di Mg e selezionare dalla matrice così
ottenuta alcune delle sue colonne. Premettiamo
che la somma della generica Pi corrisponde
alla creazione del livello i-esimo dell’albero che
sarà rappresentato dalla matrice Ma. Notiamo
inoltre che le varie Pi sono in un certo
senso disgiunte, ovvero se in Pi la colonna
k-esima presenta almeno un elemento pari
ad 1 allora tutte le altre Pj con j diverso da i
presentano colonna k-esima con tutti elementi
nulli. Il numero di Pi, le quali rappresentano
i vari livelli dell’albero in questione, sarà
esattamente uguale al numero di livelli di tale
albero. Possiamo quindi affermare che tale
somma di matrici è una somma di un numero
finito di termini. Tale procedimento risulterà
molto più chiaro una volta visto il seguente
esempio.
ESEMPIO: Consideriamo la matrice Mg
ed il nodo radice dell’esempio fatto in sezione
2.2.1 . Notiamo che risulta:
Mg =
0 1 1 0 0
1 0 1 0 0
1 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
Xr =
0
0
0
1
0
Procediamo ora al calcolo delle varie Pi:
P0 =
=
P1 =
=
I −
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
I −
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
Mg
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
Mg
Mg
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
Mg
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 00 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
= 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 00 0 1
0 0 1 0 0
0 0 1 0 0
= 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
P2 =
I −
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 Mg
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Visto che P2 = ⊘ ciò implica direttamente che
Pj per qualsiasi j > 2 sarà anche essa una
matrice nulla. Notiamo che per ottenere la Ma
dobbiamo sommare un numero di matrici pari
al numero di livelli dell’albero che vogliamo
rappresentare con tale matrice. Sommando le
matrici appena calcolate otteniamo:
(Ma) T =
0 0 1 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 .
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
Tale risultato è lo stesso che abbiamo ottenuto
nell’esempio di sezione 2.2.1. Notiamo che con
tale procedura rimane il problema che alcuni
nodi di un livello potrebbero avere più candidati
ad essere genitori. Bisognerà quindi usare
un criterio di scelta dei genitori. Il grande
vantaggio che ci da l’utilizzo della funzione
Φ(•) sta nella immediata conoscenza della non
linearità della relazione tra Ma, Mg e Xr. Inoltre
la formula trovata si presta meglio ad
una trattazione formale rispetto all’algoritmo
introdotto in precedenza.
2.7 Rappresentazione sistemistica della
rete.
Lo scopo che ci prefiggiamo ora è quello di dare
una rappresentazione sistemistica della rete di
sensori wireless. Una tale tipologia di rappresentazione
è sembrata necessaria per cercare di
intraprendere una qualche stada per arrivare
ad una legge di controllo della rete. Tale legge
di controllo sarà cercata in modo da riuscire ad
adempiere allo scopo iniziale di equidistribuire
il carico di lavoro tra i vari nodi dell’albero.
Visto che stiamo cercando di delineare la struttura
di una rappresentazione sistemistica come
prima cosa bisogna definire lo stato della rete,
quindi del sistema.
2.7.1 Definizione dello stato della rete.
Si definisce stato del sistema rete il vettore
seguente:
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