Leader (and sub Leader) Election per uniformare e ... - Automatica

da ogni nodo. L’utilizzo della tecnica Sensor-
Fusion non é scontato infatti non é detto che
sia sempre meglio usare tale tecnica rispetto a
quella di reinvio totale dei messaggi. Un punto
a favore della tecnica Sensor-Fusion consiste
nella riduzione del numero di messaggi che
transitano nella rete e quindi almeno da questo
punto di vista si ha una riduzione del consumo
energetico. Purtroppo peró con la tecnica
Sensor-Fusion si ha una maggior quantitá di
calcoli da dover fare per ogni sensore e quindi
ció comporta un maggior dispendio energetico.
La convenienza o meno di una delle due
tecniche rispetto all’altra dovrá essere valutata
caso per caso andando a prendere la soluzione
che minimizza il dispendio energetico tenendo
conto di tutti i fattori possibili.
2.7.4 Equazione di aggiornamento dello stato
per reti con reinvio totale dei messaggi.
Procediamo ora a ricavare l’equazione di
aggiornamento dello stato per reti con reinvio
totale dei messaggi. A tale scopo introduciamo
il vettore dei messaggi di misura all’istante
discreto k:
⎡
U(k) = ⎣
u1(k)
.
uN(k)
dove ui(k) = 1 se all’istante k é arrivata una
misura al nodo i altrimenti ui(k) = 0.
Grazie all’introduzione di tale vettore
l’equazione di aggiornamento dello stato
risulta essere:
X(k + 1) = Ma(Mg, Xr(k + 1)) ∗ (X(k) + U(k))
In tale equazione (X(k) + U(k)) rappresenta il
vettore le cui componenti dicono quanti messaggi
in generale sono arrivati ai vari nodi della
rete all’istante k-esimo e Ma(Mg, Xr(k + 1)) é la
matrice che rappresenta la configurazione della
rete all’istante successivo, essa é funzione di
Mg e di Xr(k) cioé del vettore che dice quale
nodo é la radice all’istante k. Notiamo che
Ma(Mg, Xr(k + 1)) ∗ (X(k) + U(k)) corrisponde
alla operazione di reinvio totale dei messaggi
e siccome per ipotesi abbiamo una comunicazione
sicura allora i messaggi inviati all’is-
⎤
⎦
tante k sono i messaggi che vengono ricevuti all’istante
(k +1). Per ipotesi prenderemo sempre
stato iniziale nullo. Notiamo che se teniamo
fissata la posizione della radice per ogni k
allora tale sistema diventa un semplicissimo
sistema lineare tempo invariante. Inoltre data
la particolare struttura dell’ingresso che puo
avere come elementi solo 0 oppure 1 si vede
che lo stato di ogni nodo sará sempre inferiore
a 2∗N dove N é il numero di nodi della rete. Per
ipotesi abbiamo supposto che ad ogni istante
k ogni nodo riceva un messaggio di misura
e quindi il vettore dei messaggi di misura
diventa un vettore fatto da tutti elementi pari
ad uno.
Figura 7. Evoluzione dello stato della rete con configurazione
rappresentata in FIGURA 6, radice in posizione fissa
e tecnica di reinvio totale dei messaggi.
Se invece la radice non viene tenuta fissa
dobbiamo considerare come ingresso anche
Xr(k). Diventa ora molto interessante notare
che Ma(•) é una funzione NON LINEARE dei
suoi argomenti. Tale non linearita deriva dalla
non linearitá della funzione Φ(•) ed implica
la non linearitá del sistema in considerazione.
Inoltre tale sistema non lineare presenta anche
una restrizione sulla gamma dei possibili valori
che possono essere assunti dall’ingresso. Infatti
se prendiamo per ipotesi che ad ogni istante
k ogni nodo riceva sempre un messaggio di
misura allora l’unico ingresso diventa in vettore
Xr(k) il quale ha tutte componenti nulle
eccetto un elemento che vale uno.
13