iv. il formalismo elementare della meccanica quantistica

Esercizio 1.15
¢¡¤£¦¥¨§¦©¤¡ ¢©¥¡¦©¦ ¨§¡¡©¢¨¨ ¢
Dimostrare l’identità
¢¡ ¡ ¡
¤£ [¥
= + ] + 1
2! [¥
¡
[¥ ]] + 1
3! [¥
¡
[¥ (1 [¥
¥
]]] + 47)
dove l’operatore , quando è continuo, va inteso nel senso di uno sviluppo in serie,
= 1 + ¥ + 1
2! ¥
2 + 1
3! ¥
3 +
(1 48)
dove 1 è l’operatore identità.
[Suggerimento: si faccia uno sviluppo in serie di Taylor dell’operatore £ ) = (¦ ¡
£ § intorno a ¨§
£ (0) = ¡
e si ponga alla ¦ fine = 1.]
£¥¤¦© ¦ ¢
Si definisce equazione agli autovalori l’equazione:
= (2 1)
Essa determina una o più funzioni , diverse da zero e ( ), che, per l’applicazione
dell’operatore , risultano semplicemente moltiplicate per un numero, indicato genericamente
con . Si dice che la funzione è l’autofunzione propria di appartenente
all’autovalore proprio .
Per un operatore simmetrico (e quindi in particolare per un operatore autoaggiunto,
= ) gli autovalori sono reali e due funzioni e che soddisfano la
(2.1) per autovalori diversi, ¢= , risultano tra di loro ortogonali:
= 0 (2 2)
Infatti, per definizione di operatore simmetrico e dalle ipotesi
segue
= =
0 =
=
= ) (
cioè si deve avere = se = , oppure la (2.2), se ¢= .
Se per un particolare autovalore la (2.1) è soddisfatta da una unica autofunzione
, si dice che l’autovalore è semplice. Può succedere però che per un certo la
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