iv. il formalismo elementare della meccanica quantistica
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che ha per soluzione<br />
¢¡¤£¦¥¨§¦©¤¡ ¢©¥¡¦©¦ ¨§¡¡©¢¨¨ ¢<br />
+ 2¡ (¤ 2<br />
¢ <br />
- )<br />
¢ - ¡<br />
<br />
<br />
<br />
- ¢<br />
£ 0 ¡ ( ) = 0 (7 7)<br />
<br />
( ) = exp<br />
2<br />
¡<br />
£<br />
4(¤<br />
0 ¡ (7<br />
<br />
+<br />
) 2<br />
8)<br />
La costante si determina per normalizzazione <strong>della</strong> :<br />
+<br />
Ut<strong>il</strong>izzando l’integrale di Poisson,<br />
si ottiene<br />
+<br />
¨<br />
¨<br />
<br />
<br />
( ) 2 = 1 (7 9)<br />
¨¡ ¤ 2<br />
=<br />
£ £<br />
<br />
(7 10)<br />
1<br />
2 (7 11)<br />
= [ ¢ (¤ )]¨ 2£<br />
La funzione d’onda (7.8) corrisponde effett<strong>iv</strong>amente all’ipotesi (7.4) di una particella<br />
con impulso medio pari a - ¢<br />
0 e con posizione media nell’origine. La densità di<br />
£<br />
probab<strong>il</strong>ità che ne risulta,<br />
( ) ( ) 2 <br />
(¤<br />
¢<br />
2£ <br />
1<br />
= exp<br />
) 2<br />
2(¤ ) 2¡ (7<br />
¤<br />
12)<br />
è infatti di tipo gaussiano centrata intorno a = 0 e con larghezza .<br />
Esercizio 7.1<br />
Ut<strong>il</strong>izzando la funzione (7.8) si verifichino le relazioni<br />
in accordo con le premesse (7.4).<br />
¡ ( <br />
¡ § = 0 <br />
¡ § ) 2§ = (¥ ) 2<br />
La ( ) data dalla (7.12) è del tipo di funzioni che permettono di definire la delta<br />
di Dirac (cfr. eq. (A.26)). Pertanto è<br />
lim<br />
¤ ¤ ¤ 0<br />
= ( ) (7 13)<br />
Ciò corrisponde alla situazione di una particella perfettamente localizzata in = 0<br />
con ¤ = 0.<br />
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