iv. il formalismo elementare della meccanica quantistica
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¥<br />
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¥<br />
<br />
(2 6)<br />
In analogia ancora col caso di uno spazio a numero finito di dimensioni, i coefficienti<br />
¥ si possono dunque interpretare come le componenti di secondo gli elementi <br />
<strong>della</strong> base in <br />
<br />
<br />
¥<br />
Esercizio 2.1<br />
. Inoltre la normalizzazione di impone<br />
1 = <br />
= <br />
¥<br />
<br />
¥<br />
2 (2 7)<br />
Date due funzioni ¡<br />
¢ e normalizzate, ma non ortogonali tra di loro, costruire, a<br />
partire dalla ¡<br />
, la funzione £ ¢ ortogonale a .<br />
Esercizio 2.2<br />
Date due autofunzioni proprie ¢ 1 e ¢ 2, normalizzate, ma non ortogonali tra di loro<br />
e appartenenti allo stesso autovalore £ doppiamente degenere dell’operatore ¥ , costruire<br />
le due autofunzioni proprie ¡ 1 e ¡ 2, linearmente indipendenti e tra di loro ortogonali.<br />
<br />
Se , con data dalla (2.5) e da una analoga relazione con coefficienti<br />
<br />
, grazie alla (2.4) <strong>il</strong> prodotto scalare tra e risulta<br />
<br />
= <br />
=<br />
¥<br />
¥<br />
<br />
¥ <br />
<br />
¥<br />
<br />
¥<br />
<br />
<br />
<br />
¥<br />
<br />
(2 8)<br />
La (2.8) giustifica l’uso <strong>della</strong> denominazione di prodotto scalare tra due funzioni<br />
<br />
per analogia con la definizione del prodotto scalare tra due vettori in uno spazio<br />
<br />
a numero finito di dimensioni.<br />
La condizione, perché valga la (2.5) o, equ<strong>iv</strong>alentemente, perché l’insieme <br />
¥<br />
costituisca una base in <br />
, si chiama proprietà di chiusura per l’insieme e si <br />
scr<strong>iv</strong>e:<br />
Infatti è identicamente<br />
<br />
¥<br />
<br />
¥ (r)<br />
¥ (r ) = (r r ) (2 9)<br />
<br />
r r ) (r ) (2 (r) = (r 10)<br />
D’altra parte, per la (2.6), <strong>il</strong> secondo membro <strong>della</strong> (2.5) d<strong>iv</strong>enta<br />
164<br />
¥<br />
¥
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