iv. il formalismo elementare della meccanica quantistica

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Il problema di determinare la funzione d’onda che risolve l’equazione di Schrödinger
si semplifica nel caso in cui la hamiltoniana non dipende dal tempo. In questo
caso infatti si può cercare la soluzione dell’equazione
- ¢ ¡
= (3 1)
nella forma detta a variabili separate, in cui la parte temporale della viene fattorizzata.
Nello spazio delle posizioni, si pone:
(r ) = (r) ( ) (3 2)
Sostituendo la (3.2) nella (3.1) e dividendo per , si ottiene
¢ ¡ - 1 1
= (r) (3 3)
Nella (3.3) si è riconosciuto che ogni membro dell’equazione è funzione di una sola
variabile ( r oppure ) e quindi deve essere una costante, che si è chiamata . La
(3.3) si può perciò separare nelle due equazioni:
La (3.4) si risolve subito:
¢ - ¡
= ( ) (3 4)
(r) = (r) (3 5)
( ) = ¨ -
(3 6)
dove è una costante di integrazione.
La (3.5) è l’equazione agli autovalori per l’operatore hamiltoniano . Siccome
per ipotesi non dipende dal tempo, la (3.5) è pure indicata come equazione di
Schrödinger degli stati stazionari. La conoscenza delle sue soluzioni (r) permette
infatti di riscrivere la (3.2) nella forma
(r (r) ¨ -
(3
) = 7)
dove la costante viene fissata per normalizzazione della , e la corrispondente
densità di probabilità,
(r ) 2 = 2 (r) 2 (3 8)
risulta indipendente dal tempo.
L’equazione agli autovalori (3.5) acquista dunque un ruolo centrale nella ricerca
delle soluzioni dell’equazione di Schrödinger.
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