iv. il formalismo elementare della meccanica quantistica

Esercizio 2.12
¢¡ £¦¥¨§¢©¤¡ ©¥¡¦©¦ ¨§ ¡¡ ©¢¨ ¢¨ ¢
Utilizzando il teorema di Ehrenfest, determinare il potenziale che classicamente
darebbe origine allo stesso tipo di moto che risulta dall’Esempio 2.4.
Esercizio 2.13
Verificare che se la buca di potenziale dell’Esempio 2.4 è definita dalla condizione
£ ( 0
) =
0 £
¡ +§
,
0, ¨ (2 £
,
79)
con £ 2¢ = , lo spettro di autovalori (2.76) resta inalterato, mentre le autofunzioni risultano
con =£ ©
£
,£ = 1 2
.
¡ ( ) =
£
2
sin
£
(2 80)
¡ ¢¡¤£¤¥§¦©¨
Si riconsideri l’equazione (2.56) estendendo la libertà di moto su tutto l’asse :
¤£ - ¥
= - ¥ (2 81)
Non ci sono condizioni da imporre alla , che deve comunque essere del tipo (2.57)
con compreso ( § +§ in ). In tal caso però le autofunzioni non sono a quadrato
sommabile e quindi sono autofunzioni improprie. Il d’onda
numero che le caratterizza,
non essendo più condizionato, può variare in modo continuo ( § +§ in ). Questo è un
esempio di spettro continuo associato a ¢
2 ( funzioni ).
D’altra parte, per la (III.3.32), le autofunzioni della (2.81) sono localmente integrabili
e quindi con esse si possono costruire pacchetti di onde 2 ( ).
¤£ ¢¡¤£¤¥§¦©¨
La hamiltoniana della particella libera di muoversi lungo tutto l’asse è
e la relativa equazione agli autovalori è
¥ - 2
=
2 ¢ 2
(2 82)
2
2¡
2 = (2
¡
83)
Le soluzioni ¡
= ¡ ( ), continue e derivabili fino alla derivata seconda per ( § +§
in
), sono della forma
con
¡ ( ) =£ 1 ¥ ¤
176
£ 2 £ ¥ ¤
(2 84)