iv. il formalismo elementare della meccanica quantistica
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¢¡ £¦¥¨§¢©¤¡ ©¥¡¦©¦ ¨§ ¡¡ ©¢¨ ¢¨ ¢<br />
¤§¦ (¥) ( = © ) ¦ (2 + £ 1)( )! £<br />
2( £ + ¦<br />
1 2<br />
sin<br />
)! ¡ ¦ ¦<br />
cos¥) (¡ ¥ ¡ ¦ (cos¥) (2 43)<br />
¤ ¤<br />
Nella (2.43) le funzioni¤ ¤ ( ) sono i polinomi di Legendre,<br />
le cui espressioni esplicite per £ <br />
¤ ( ¤ ) = 1<br />
2 ¤ £ <br />
¤ <br />
¤ !<br />
( 2 1) ¤¡ <br />
4 sono riportate in Tab. 1.<br />
Tab. 1. Polinomi di Legendre per £ <br />
0( ¤ ) = 1<br />
1( ¤ ) = <br />
¤ 2( ) = 1<br />
2 (3 2 1)<br />
3( ¤ ) = 1<br />
(5 2 3)<br />
2<br />
¤ 4( ) = 1<br />
8 (35 4 30 2 + 3)<br />
Per valori di negat<strong>iv</strong>i si ricorre alla relazione<br />
4.<br />
(2 44)<br />
£<br />
¦ ¢¥¤¡ ( (¥ ¤) = ) ¦ <br />
¢ ¤ ) (2 ¤§¦ (¥ 45)<br />
Le armoniche sferiche sono un insieme completo ortonormale:<br />
1<br />
£ 1<br />
<br />
2<br />
(cos¥)<br />
0<br />
¢<br />
Inoltre valgono i seguenti casi particolari:<br />
¤<br />
¢¥¤ ) ¤<br />
(0<br />
0(¥<br />
¢¥¤§¦ ¤<br />
=<br />
<br />
¤ ¤ )¢ ¤¦ ) ¦ ¤ (¥ (¥<br />
£<br />
=<br />
2 £ + ¤ 1<br />
(cos¥) ¤ <br />
£<br />
4©<br />
2 £ + 1<br />
= ¢ ¤ ¤ ¢ ¦ ¦ (2 46)<br />
(2 47)<br />
)<br />
¦ ¢ + © (© ) = ( ) ¤ ¥ ¤ ¤<br />
¢ ¤ ) (2 49)<br />
¤ ¦<br />
In quest’ultima relazione, <strong>il</strong> primo membro è ottenuto applicando parità¤<br />
l’operatore di ,<br />
che ha l’effetto di invertire simultaneamente tutti e tre gli assi coordinati del sistema di<br />
(¥<br />
riferimento © cartesiano, in in¤ + © :<br />
e¤ ¥ mandando¥<br />
170<br />
4©<br />
¦<br />
<br />
0 ¢<br />
(2 48)
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