iv. il formalismo elementare della meccanica quantistica

¢¡¤£¦¥¨§¦©¤¡ ¢©¥¡¦©¦ ¨§¡¡©¢¨¨ ¢
Anche se non appartengono a
, le autofunzioni improprie permettono di costruire
funzioni che vi appartengono, come nel caso delle onde piane che si possono
combinare in un pacchetto di onde. In presenza di spettro puramente continuo,
le autofunzioni improprie costituiscono un insieme completo su cui sviluppare una
qualsiasi :
( ) § (r) (2 (r) =
14)
dove i coefficienti di sviluppo ( ) sono in generale complessi e dipendono dall’indice
continuo . La condizione di ortonormalizzazione è ora
§ (r) § r = ( ) (2 (r) 15)
che garantisce per i coefficienti ( ) un’ovvia estensione della (2.6),
e della (2.7):
( ) =
= §§
§ (r) (r) (2 r 16)
1 =
( ) =
2 (2 17)
Infine la relazione di chiusura (2.9) diventa in questo caso:
§ (r) § (r ) = (r r ) (2 18)
In generale però lo spettro può contenere sia una parte di spettro discreto, sia
una parte di spettro continuo. Di conseguenza, l’insieme completo delle autofunzioni
contiene sia autofunzioni proprie, sia autofunzioni improprie. Con ovvia estensione
dai casi precedenti, l’ortonormalizzazione deve riguardare tutte le autofunzioni, proprie
ed improprie:
(r) r
r
¥ (r) = ¥
§ (r) r
¥ (r) = 0
§ (r) § (r) = ( )
La completezza implica che lo sviluppo per ogni
sia le autofunzioni proprie, sia quelle improprie:
(r) =
¥
¥
¥ (r) +
(2 19)
sia fatto coinvolgendo
( ) § (r) (2 20)
166