iv. il formalismo elementare della meccanica quantistica

Esercizio 1.1
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Utilizzando le proprietà (1.2), (1.3) e (1.6), dimostrare la disuguaglianza
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dove il segno di uguale si verifica se e solo se £ e ¦ sono tra di loro proporzionali.
La (1.7) è nota come disuguaglianza di Schwarz 8 . Essa garantisce la convergenza
dell’integrale (1.1) quando £¦ ( 2 3
).
Sulle funzioni è necessario agire con operatori:
(1 7)
= (1 8)
In generale, oltre alla sua espressione esplicita 9 , la completa definizione dell’opera-
tore richiede anche la definizione del ( dominio ) delle funzioni su cui opera.
L’insieme di ( funzioni, ), tale che a ogni sua funzione corrisponda almeno una
( funzione ), è detto rango o immagine di : in generale il ( dominio )
non coincide con la sua ( immagine ).
Nel seguito il ( dominio ) dell’operatore hamiltoniano verrà indicato
con
e avranno interesse operatori con ( dominio ) denso 10 in 2 3
). Dato (
che la hamiltoniana contiene l’energia cinetica, che nello spazio delle posizioni è
rappresentata da un laplaciano, gli elementi dello spazio di Hilbert
sono funzioni
2 3
) tali da potersi anche derivare due volte (eventualmente nel senso delle
(
distribuzioni, cfr. Appendice A). Inoltre sarà opportuno che gli elementi ( di )
siano ancora in 2 3
). Tuttavia, con opportune cautele si renderà necessario
(
utilizzare anche operatori con un dominio più ampio.
Per salvaguardare il principio di sovrapposizione lineare occorre considerare
operatori lineari:
(¥ 1 + 2) = 1 + 2 (1 9)
Si possono ricordare alcune definizioni riferite a operatori lineari 11 :
1) operatore aggiunto (o coniugato hermitiano) di :
8 Hermann Amandus Schwarz (1843–1921).
¢ =
( ) (1 10)
9 può essere, per esempio, di tipo moltiplicativo (per un numero o una funzione), derivativo oppure
integrale.
10 Un insieme è detto denso in se l’intersezione di tutti gli insiemi chiusi contenenti è uguale
a . Ne segue che è denso in se e solo se ortogonale a per implica = 0.
11 Frigyes Riesz e Béla Sz.-Nagy: Leçons d’analyse functionnelle, Académie des Sciences de Hongrie,
1955 [traduzione inglese della seconda edizione francese a cura di Leo F. Boron: Functional Analysis,
Frederick Ungar Publ. Co., New York, 1955].
Guido Fano: Metodi matematici della meccanica quantistica, Zanichelli, Bologna, 1967.
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