iv. il formalismo elementare della meccanica quantistica

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risulta reale. Infatti, ricorrendo alle proprietà (1.2), (1.11) e (1.12), si verifica che è
=
=
=
=
(1 17)
Perciò gli operatori autoaggiunti sono una generalizzazione dei numeri reali.
La misura di un’osservabile è sempre un numero reale; se si vogliono associare
degli operatori alle variabili dinamiche, la (1.17) suggerisce che si debbano scegliere
operatori autoaggiunti. Si vedrà al paragrafo IV.2 che la (1.17) è solo una conseguenza
di proprietà generali che rendono gli operatori autoaggiunti particolarmente adatti ad
essere associati alle variabili fisiche osservabili 14 .
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Si può verificare che l’operatore di posizione è autoaggiunto. Mettendosi in una
sola dimensione spaziale per semplicità, la condizione
segue dalle relazioni di definizione (1.11) e (1.12). Infatti,
Inoltre è immediato verificare che è
= (1 18)
£¦
( ), si ha:
£
( ¦
) ( ) =
[ ¦
( )] ) (1 ( 19)
£
( ) =
( ).
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L’operatore di derivazione rispetto a non è autoaggiunto.
Infatti,
(
e quindi
), risulta
£ ( )
( ) ¦
=
¢
=
=
cioè l’operatore di derivazione è antihermitiano.
§
( ) £
£ ( )
¦ ( )
¦ ( )
£¦
(1 20)
(1 21)
14 Non esiste però una corrispondenza biunivoca tra osservabili fisiche e operatori autoaggiunti, perché si
possono inventare operatori autoaggiunti cui non corrispondono osservabili fisiche. Per una discussione
su questo punto si veda per esempio il testo di Bernard d’Espagnat: Conceptual Foundations of Quantum
Mechanics, Addison Wesley, Redwood City, Cal., seconda edizione, 1976 (rist. 1989), cap. 7 [traduzione
italiana di Eugenio Galzenati: I fondamenti concettuali della meccanica quantistica, Bibliopolis, Napoli,
1980].
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