МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

В.Є. Бахрушин. Математичне моделювання
Ще однією проблемою при використанні обчислювальних методів
може бути некоректність поставленої задачі, тобто відсутність у неї розв'язку,
його нестійкість або наявність декількох розв'язків. Умову стійкості
можна сформулювати в такому вигляді:
δy → 0, якщо δx → 0, (1.8)
де δx – вектор похибок вихідних даних, δy – вектор похибок результатів.
Нестійкість розв'язку означає, що малі похибки значень вихідних параметрів
можуть призводити до великих похибок одержуваних результатів.
У таких випадках застосування обчислювальних методів не має сенсу.
Можливі ситуації слабкої стійкості (поганої зумовленості), коли умова
(1.8) формально виконується, але похибка результату є неприпустимо великою.
Прикладами коректних задач можуть бути знаходження коренів полінома;
розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь у випадку,
коли кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих, і детермінант матриці,
складеної з коефіцієнтів рівнянь, є відмінним від нуля; розв'язування
задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь тощо.
Для дослідження математичних моделей, що побудовані у вигляді
диференціальних рівнянь та їх систем, застосовують також аналогове моделювання.
У цьому разі використовують спеціальні установки, які називають
аналоговими обчислювальними машинами. Як правило, це електричні
ланцюги, що містять активні опори, конденсатори, котушки індуктивності
та джерела струму. Залежності сили току та напруги від часу в
таких ланцюгах описуються різноманітними диференціальними рівняннями.
Це дає змогу одержувати розв’язки відповідних рівнянь у чисельному
або графічному вигляді, виконуючи вимірювання відповідних електричних
величин.
При дослідженні складних систем і процесів використовують також
методи, основані на дослідженні їх аналогів. Аналогами називають різні за
змістом процеси, що описуються одними й тими самими математичними
моделями. Це дає можливість вивчати складні для експериментального
дослідження природні, технічні та соціально-економічні системи за допомогою
інших методів. Часто існування аналогів зумовлено дією більш загальних
законів, тому дослідження аналогів сприяє глибшому розумінню
досліджуваних систем і процесів.
Класичними прикладами аналогів є фізичні процеси перенесення –
теплопровідність, дифузія та електропровідність. Густини потоку тепла
10