МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

В.Є. Бахрушин. Математичне моделювання
цесів, які відбуваються в ній), характеризує склад та взаємозв’язки її функціональних
підсистем. Структурна модель відображає побудову системи;
інформаційна – відношення між елементами системи, а також між системою
і зовнішнім середовищем. Остання будується у вигляді структур
даних, що характеризують елементи системи, зовнішнє середовище та
взаємозв’язки між ними. Інформаційна модель також може мати вигляд
рівнянь регресії або кореляційних рівнянь, які відображають зв’язок між
рядами даних, статистичного опису сукупності даних, порівняльних статистичних
характеристик наборів даних тощо. Поведінкова модель відображає
динаміку функціонування системи, зміни її станів, події, що відбуваються
в ній, тощо.
Розглянемо детальніше цю класифікацію на прикладі такої системи,
як тверде тіло. Функціональні моделі мають відображати процеси, що відбуваються
в системі. Для твердого тіла це можуть бути моделі, які описують
теплопровідність, електропровідність, дифузію, коливання кристалічної
решітки, поглинання та розсіювання світла тощо. Структурні моделі
відображають побудову твердого тіла. Для ідеального кристалу таку модель
можна сформулювати як сукупність елементів симетрії кристалічної
решітки (просторова або точкова група симетрії), як геометричний опис
елементарної решітки кристалу, як віднесення до деякого класу структур
(наприклад, "об’ємно центрована кубічна решітка", "решітка типу алмазу")
тощо. Інформаційними моделями твердого тіла є, наприклад, залежності
його фізичних властивостей (питомий електричний опір, період кристалічної
решітки, питома теплоємність та інші) від зовнішніх параметрів
(температура, тиск, напруженість електричного або магнітного полів тощо),
спектри оптичного поглинання, рентгенограми тощо. Інформаційними
моделями будуть також взаємозв’язки між різними властивостями, зокрема
залежність коефіцієнта дифузії деякої домішки від умісту інших
домішок. Ці моделі можна побудувати у вигляді таблиць даних, графіків
або функцій. Прикладами поведінкових моделей твердого тіла можуть бути
моделі зміни фізичних властивостей за часом (зокрема моделі повзучості,
деградації твердого тіла під впливом опромінювання тощо), діаграми
фазових рівноваг, моделі фазових перетворень, переходів бістабільних
кристалів між різними станами та інші.
Існує багато різних класифікацій математичних моделей. Зокрема,
виділяють моделі статичні та динамічні, диференціальні й інтегральні, детерміністичні
та стохастичні, лінійні та нелінійні, геометричні, топологічні,
імітаційні, оптимізаційні тощо. Найбільш поширеними формами запису
математичних моделей є інваріантна, аналітична, алгоритмічна та схемна
(графічна). В інваріантній формі моделі записують за допомогою алгебраїчних,
диференціальних, інтегральних та інших рівнянь і нерівностей,
без урахування методу подальшого аналізу моделі. Аналітична форма
8