МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

В.Є. Бахрушин. Математичне моделювання
Розглянемо як приклад математичну модель дифузії домішки у твердому
тілі. Вихідну модель у разі вільної дифузії можна записати в такому
вигляді:
⎧ jn
=−D(r,t) ⋅grad n(r,t);
⎪ ∂ n
⎪ = div( D(r,t)grad n(r,t) ) ;
⎨ ∂ t
⎪ n(r
0,t)
=ϕ(t);
⎪
⎪ ⎩n(r,t) 0
=ψ(r) ,
(1.13)
де r – радіус-вектор.
Модель 1.13 не має аналітичного розв’язку. Але за деяких умов вона
може бути перетворена до моделей, що можна досліджувати аналітично.
Наприклад, однією з типових задач дифузії є одновимірна дифузія з необмеженого
однорідного плоского джерела в напівнескінченне однорідне тіло
при сталому коефіцієнті дифузії. Така модель дифузії широко використовується
при аналізі багатьох процесів хіміко-термічної обробки металів,
процесів створення твердотілих електронних приладів тощо. Для цього
випадку, якщо можна нехтувати присутністю домішки в тілі при t = 0, модель
1.13 набирає вигляду:
⎧ dn
⎪
j = −D
;
dx
⎪
2
⎪dn
d n
⎪ = D ;
2
⎨ dt dx
⎪n( 0,t)
= n 0;
⎪
⎪ n
⎪
n(x,0) =
⎩ 0
0 ( x = 0)
( x ≠ 0)
.
(1.14)
Із системи 1.14 можна одержати таке рівняння, що описує концентрацію
в довільний момент часу в довільній точці тіла:
де
⎛ x ⎞
n(x, t) = n 0 erfc⎜
⎟ , (1.15)
⎝ 2 Dt ⎠
2
erfc (z) 1 e dx .
z
2
−x
= −
π
∫ (1.16)
0
12