МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

В.Є. Бахрушин. Математичне моделювання
1. ЗАГАЛЬНІ ПИТАННЯ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ
Математичне моделювання є одним із основних сучасних методів
дослідження. Загалом під моделюванням розуміється процес дослідження
реальної системи, який включає побудову моделі, її дослідження та перенесення
одержаних результатів на досліджувану систему. Модель можна
визначити як об’єкт, що в деяких відношеннях збігається з прототипом і є
засобом опису, пояснення та/або прогнозування його поведінки. Під математичною
моделлю реальної системи (процесу) розуміється сукупність
співвідношень (формул, рівнянь, нерівностей, логічних умов, операторів
тощо), які визначають характеристики станів системи залежно від її параметрів,
зовнішніх умов (вхідних сигналів, впливів), початкових умов та
часу. Загалом, за визначенням В.М. Глушкова, математична модель – це
множина символічних математичних об’єктів і співвідношень між ними.
За М.М. Амосовим, математична модель – це система, що відображає іншу
систему.
1.1. Приклади математичних моделей
З курсу фізики середньої школи, відомо, що для опису руху матеріальної
точки під дією постійної сили F можна використовувати таке рівняння:
2
t
r(t)
= r0 + v
0t+ F , (1.1)
2m
де r(t) – радіус-вектор точки в момент часу t, r 0 – радіус-вектор точки у
початковий момент часу, v 0 – початкова швидкість, m – маса. Це рівняння
можна розглядати як найпростішу математичну модель руху.
У більш складних випадках, коли сила не є постійною, модель 1.1
може бути перетворена різними способами. Зокрема, якщо відома величина
сили для кожного моменту часу, математичну модель руху можна записати
у вигляді системи, що складається з диференціального рівняння
другого степеня і двох початкових умов:
2
d r F
= ; (0)
2 r = r
0; v (0) = v
0 . (1.2)
dt m
Якщо для кожного моменту часу відомий радіус-вектор точки, то
математичну модель руху можна подати у вигляді степеневого ряду
4