МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

В.Є. Бахрушин. Математичне моделювання
ε = t α σ x
,
2
N
2 σX
2 2 1
σ = – дисперсія x , σ
x
X
≈ S = ( xi
−x)
N
N 1 i = 1
∑ – дисперсія випадкової
величини Х, S – емпірична оцінка дисперсії. Звідси маємо:
−
t
α
σX
ε = . Величини t
α
знаходять з таблиць розподілу Стьюдента для заданої
надійності α. Оскільки точність, з якою треба визначити математич-
N
не сподівання, задається, то для оцінки потрібної кількості випробувань
2
t σX
можна використовувати вираз N = α t
або N = α у разі, коли істинна
2
2
ε
ε
2
дисперсія σ x є невідомою.
Метод Монте-Карло використовують також для знаходження невідомих
ймовірностей p настання деяких випадкових подій. Для цього в N
випробуваннях реєструють, скільки разів відбулася досліджувана подія,
визначають її частоту d, яку й беруть за оцінку p. При заданих ε та α довірчим
інтервалом є [ d − t
2 p
α
σd;
d − t
ασd
]
( 1 − p) d( 1 − d)
. Дисперсія σ d = ≈ . Точність
ε оцінки ймовірності p дорівнює ε = tα . Відповідно, кіль-
N N
d( 1−
d)
N
кість випробувань, що треба виконати для забезпечення точності ε при рівні
надійності α,
N
2
( − p) t d( 1−
d)
2
tα
p 1 α
= ≈
2
2
2
2 S 2
. Звідси випливає, що для підви-
ε ε
щення точності необхідно значно збільшити кількість випробувань. Інколи
можна досягти тієї самої точності при меншій кількості випробувань.
Нехай, наприклад, досліджувана частота є функцією якогось параметра
системи χ: p = f ( χ)
що зі збільшенням N емпірична залежність = f ( χ)
. Унаслідок дії закону великих чисел можна очікувати,
d буде ставати все більш
гладкою. Тоді, використовуючи відносно малу кількість випробувань, можна
одержати емпіричні точки й потім побудувати апроксимуючу функцію,
застосування якої дозволить зменшити кількість випробувань, потрібних
для знаходження досліджуваної ймовірності p із заданою точністю.
Для реалізації методу Монте-Карло необхідно використовувати різноманітні
алгоритми генерації послідовностей випадкових чисел та векторів.
Деякі з них розглянуто нижче.
22