to download the PDF file. - ä¸­ç ”é™¢æ•¸å­¸ç ”ç©¶æ‰€

即
sinh x = x
∞∏
)
(1 + x2
k 2 π 2
k=1
關 於 Euler 級 數 的 幾 個 觀 點 25
)( )( )
= x
(1 + x2
1 + x2
1 + x2
· · · (3.5)
π 2 4π 2 9π 2
作 一 下 代 換 x → ix, 並 由 等 式 sin x = −i sinh(ix) 就 可 得 正 弦 函 數 sin x 之 ( 因 式 ) 分 解 。
定 理 3.2. (Euler 1748)
∞∏
)
sin x = x
(1 − x2
n 2 π 2
n=1
)( )( )
= x
(1 − x2
1 − x2
1 − x2
· · · (3.6)
π 2 4π 2 9π 2
另 外 的 疑 問 是 sin x 是 否 有 其 它 的 虛 根 呢 ? 事 實 上 並 沒 有 , 因 此 可 以 確 信 (3.6) 是 正 弦 函
數 sin x 的 因 式 分 解 。 Euler 這 個 定 理 告 訴 我 們 正 弦 函 數 ( 實 際 上 任 意 的 解 析 函 數 ) 可 以 像 多
項 式 一 樣 分 解 為 各 個 因 式 之 乘 積 ( 因 式 分 解 ), 主 要 差 別 是 sin x 有 無 窮 多 個 根 因 此 是 無 窮 乘 積
(infinite product), 所 以 Euler 這 個 結 果 也 為 19 世 紀 複 變 函 數 論 中 的 Weierstrass 分 解 理
論 做 了 鋪 路 的 工 作 。
例 題 3.3. 由 正 弦 函 數 的 無 窮 乘 積 (3.6) 證 明
解 :
ζ(2) =
對 (3.6) 兩 邊 取 對 數
另 一 方 面 由 Taylor 展 開 式
∞∑
n=1
∞
1
n = π2
2 6 , ζ(4) = ∑ 1
n = π4
4 90
log ∣ sin x
∣ =
x
n=1
n=1
∞∑
∣
∣
log ∣1 −
x2 ∣∣
n 2 π 2
所 以
sin x = x − x3
6 + x5
x2
+ · · · , log(1 − x) = x +
120 2 + x3
3 + · · ·
log ∣ sin x
)
∣ = log
(1 − x2
x
6 + x4
120 + · · · ( ) x
2
=
6 − x4
120 + · · · + 1 ( ) x
2
2
2 6 − x4
120 + · · · + · · · (3.7)
同 理
log ∣ sin x
∣ =
x
∞∑
∣
∣
log ∣1 −
x2 ∣∣
∑ ∞ ( x
2
=
n 2 π 2 n 2 π + 1 2 2
n=1
n=1
x 4 )
n 4 π + · · · 4
(3.8)