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30 數 學 傳 播 36 卷 1 期 民 101 年 3 月
由 重 積 分 變 換 積 分 順 序 的 技 巧 也 可 以 推 得 Euler 的 公 式 (2.3), 其 想 法 是 從 等 比 級 數 著 手 。
考 慮 重 積 分
所 以
I =
∫ 1 ∫ 1
0
0
∫
1
1
1 − xy dxdy =
I =
=
=
∫ 1 ∫ 1
0
∫0
1
∫0
1
0
∫ 1
(1 + xy + x 2 y 2 + · · · )dxdy
0
(
x + 1 2 x2 y + 1 )∣
3 x3 y 2 ∣∣
1
+ · · · dy
(1 + y 2 + y2
3 + · · · )
dy
= 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + · · · (5.1)
這 個 積 分 可 藉 由 變 數 變 換 來 計 算 。 因 為 分 母 有 xy 項 , 可 以 作 個 旋 轉
( ) ( ) ( )
x cos θ − sin θ u
=
y sin θ cos θ v
0
1
dxdy = ζ(2) (5.2)
1 − xy
0
取 θ = π 4 ( 旋 轉 45 ◦ ) 則
(
x
y
)
=
(
1√2
− 1 √
2
√1
√2 1
2
) (
u
v
)
(5.3)
計 算 可 得
所 以 原 積 分 等 於
∫ √2
1
I = 4
0
∫ u
0
xy = 1 2 (u2 − v 2 ) , 1 − xy = 2 − u2 + v 2
∫
1
√ 2 ∫ √ 2−u
2 − u 2 + v dvdu + 4 1
2 √
1
0 2 − u 2 + v dvdu ≡ I 2 1 + I 2 (5.4)
2
2
由 積 分 的 技 巧
再 考 慮 變 數 變 換
∫
I 1 = 4
∫
= 4
∫
= 4
0
0
0
1 √2
1 √2
1 √2
[∫ u
]
1
0 2 − u 2 + v dv du
[
2 ( )] u
1
v
√
2 − u
2 tan−1 √ du
2 − u
2
0
( )
1
u
√
2 − u
2 tan−1 √ du 2 − u
2
u = √ 2 sin θ ,
√
2 − u2 = √ 2 cos θ ,
du = √ 2 cos θdθ