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18 數 學 傳 播 36 卷 1 期 民 101 年 3 月
( 1
≥ 1 +
3 3)
+ 1 ( 1
+
9 + · · · + 1 ( 1
+
9)
27 27)
+ · · · + 1 + · · ·
= 1 + 2 3 + 6 9 + 18
27 + · · · = 1 + 2 3 + 2 3 + 2 3 + · · · (1.3)
依 此 類 推 , 可 以 考 慮 1/4 n 、1/5 n · · · , 所 以 有 無 窮 多 種 證 明 方 法 , 你 唯 一 要 掌 握 的 是 等 比 級 數 。
其 實 這 方 法 就 是 比 較 審 驗 法 : 要 判 別 一 個 級 數 收 斂 或 發 散 只 需 要 與 另 一 個 已 知 的 級 數 ( 通 常 是
等 比 級 數 ) 做 比 較 。 我 們 回 到 Euler 的 級 數
∞∑
n=1
1
n 2 = 1 + 1 4 + 1 9 + 1
16 + 1 25 + · · · (1.4)
在 我 們 的 內 心 深 處 始 終 有 一 個 等 比 級 數 , 仿 (1.2)
( 1
1 +
2 + 1 ) ( 1
+
2 3 2 4 + · · · + 1 ) ( 1
+
2 7 2 8 + · · · + 1 )
+ · · ·
( 2 15 2
1
≤ 1 +
2 + 1 ) ( 1
+
2 2 3 4 + · · · + 1 ) ( 1
+
2 4 2 8 + · · · + 1 )
+ · · ·
2 8 2
= 1 + 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + · · · = 2 (1.5)
讀 者 應 該 觀 察 到 (1.5) 與 (1.2) 的 分 割 方 式 並 不 一 樣 , 在 (1.5) 我 們 挑 選 的 等 比 級 數 1/2 n 是
領 頭 羊 , 但 (1.2) 則 是 殿 後 , 真 是 所 謂 收 斂 、 發 散 大 不 同 。 同 理 仿 (1.3) 的 想 法 考 慮 1/3 n
(1 + 1 ) ( 1
+
2 2 3 + · · · + 1 ) ( 1
+
2 8 2 9 + · · · + 1 )
+ · · ·
( 2 26 2
1
≤ (1 + 1) +
3 + · · · + 1 ) ( 1
+
2 3 2 9 + · · · + 1 )
+ · · ·
2 9 2
= 2
(1 + 1 3 + 1 3 + 1 )
2 3 + · · · = 3 (1.6)
3
所 以 級 數 (1.4) 的 分 割 方 式 也 是 有 無 限 多 種 , 但 是 事 實 上 是 同 一 種 等 比 級 數 的 方 法 。
證 明 級 數 收 斂 發 散 是 一 回 事 ( 方 法 多 的 讓 人 眼 花 撩 亂 ), 要 求 得 收 斂 級 數 之 精 確 值 則 是 另 一
回 事 , 只 有 少 數 的 級 數 才 有 精 確 值 , 但 這 些 卻 構 成 這 個 理 論 最 美 妙 的 一 部 份 。 Euler 這 個 成 果 可
以 視 為 解 析 數 論 誕 生 的 標 記 , 這 個 成 果 除 了 本 身 的 美 之 外 , 更 重 要 的 是 刺 激 了 其 他 數 學 的 發 展 。
分 析 或 數 學 分 析 是 一 個 相 當 難 定 義 的 概 念 , 牛 頓 將 分 析 理 解 為 藉 助 於 無 窮 級 數 來 研 究 方 程
式 , 換 言 之 , 牛 頓 的 基 本 發 現 歸 結 為 : 一 切 都 應 當 展 開 成 無 窮 級 數 。 他 曾 說 :『 有 限 項 能 做 的 , 無 限
多 項 也 能 做 , 這 種 無 限 多 項 的 做 法 稱 為 — 分 析 。』 牛 頓 用 分 析 這 個 術 語 表 示 研 究 ( 即 藉 助 無 窮 級
數 來 研 究 曲 線 , 研 究 運 動 , 亦 即 研 究 我 們 今 天 所 謂 的 函 數 或 映 射 )。 分 析 (analysis) 的 原 文 ( 拉
丁 文 ) 與 解 剖 學 有 關 , 意 思 是 將 一 個 整 體 拆 解 為 各 個 細 部 之 組 合 , 因 此 無 窮 級 數 是 分 析 的 重 心 。