to download the PDF file. - ä¸­ç ”é™¢æ•¸å­¸ç ”ç©¶æ‰€

26 數 學 傳 播 36 卷 1 期 民 101 年 3 月
(3.7)、 (3.8) 兩 式 比 較 係 數
因 此
註 解 :
1
π 2
ζ(2) =
∞
∑
n=1
∞∑
n=1
1
n 2 = 1 6 , 1
2π 4
∞
∑
n=1
1
n 4 = 1
180 , · · ·
∞
1
n = π2
2 6 , ζ(4) = ∑ 1
n = π4
4 90 , · · · □
n=1
(1) 實 際 上 由 (3.7)、 (3.8) 可 以 得 出 所 有 的 ζ(2n), n ∈ N。
(2) 如 果 令 x = π 2
則 由 正 弦 函 數 的 無 窮 乘 積 (3.6) 可 得 Wallis 乘 積 (John Wallis; 1616–
1703)
∞
π
2 = ∏
n=1
2n
2n − 1 ·
(
2n 2 · 2
2n + 1 = 1 · 3
) ( 4 · 4
3 · 5
) ( 6 · 6
5 · 7
) ( 8 · 8
7 · 9
當 然 有 興 趣 還 可 嘗 試 x = π 、 π、· · · 等 等
6 4
π
2 = 3 ( )( )( )( 6 · 6 12 · 12 18 · 18 24 · 24
2 5 · 7 11 · 13 17 · 19 23 · 25
( )( )( )(
√ 2 · 2 6 · 6 10 · 10 14 · 14
2 =
1 · 3 5 · 7 9 · 11 13 · 15
) ( ) 10 · 10
· · · (3.9)
9 · 11
)
· · ·
)( 18 · 18
17 · 19
Wallis 乘 積 可 以 表 示 為
( 2 ( ) 2 ( ) 2 2 4 2n 1
lim
· · ·
n→∞ 1)
3 2n − 1 2n + 1 = π 2
或
這 相 當 於
1 · 3 · 5 · · · · (2n − 1)
2 · 4 · 6 · · · · 2n
2
lim
n→∞ 1 · 4
3 · 6
5 · · · · 2n
2n − 1
1
√ = √ π n
)
· · ·
( ) ( )
= 1 2n −1/2
= (−1) n ≈ √ 1
2 2n n
n nπ
(3) π 可 以 透 過 Wallis 乘 積 來 表 示 但 是 π 也 有 其 它 表 現 式 : 利 用 倍 角 公 式 可 得 到 正 弦 函 數
sin x 的 另 一 種 無 窮 乘 積
sin x
x = cos x 2 cos x 4 cos x 8 cos x 16 · · ·
sinh x
= cosh x x 2 cosh x 4 cosh x 8 cosh x 16 · · · (3.10)