to download the PDF file. - ä¸­ç ”é™¢æ•¸å­¸ç ”ç©¶æ‰€

22 數 學 傳 播 36 卷 1 期 民 101 年 3 月
定 理 2.3. (Euler)
∞∑ 1
(a)
n = 1 + 1 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 + · · · = π2
2 6 = 22 · π 2
· 1
2 · 2! 6
(b)
(c)
(d)
n=1
∞∑
n=1
∞∑
n=1
∞∑
n=1
1
n = 1 + 1 4 2 + 1 4 3 + 1 4 4 + · · · = π4
4 90 = 24 · π 4 1
·
2 · 4! 30
1
n = 1 + 1 6 2 + 1 6 3 + 1 6 4 + · · · = π6
6 945 = 26 · π 6 1
·
2 · 6! 42
1
n 8 = 1 + 1 2 8 + 1 3 8 + 1 4 8 + · · · =
證 明 : 我 們 留 給 讀 者 練 習 。
π8
9450 = 28 · π 8
·
2 · 8!
1
30 。
註 解 :
(1) 特 別 值 得 一 提 的 是 平 方 和 則 對 應 的 是 π 2 , 四 次 方 和 則 是 π 4 其 餘 依 此 類 推 。 例 如 Euler 還 曾
算 到 26 次 方 ( 其 耐 性 是 何 等 之 大 !)
∞∑
n=1
1
n = 1 + 1
26 2 + 1
26 3 + 1
26 4 + · · · = 1315862
26 11094481976030578125 π26 (2.7)
(2) 以 Euler 的 方 法 可 求 得 上 面 這 些 無 窮 級 數 的 和 基 本 上 都 是 偶 次 方 , 如 果 是 奇 次 方 是 否 具 有
底 下 之 形 式
∞∑
n=1
1
n 2k+1 = C × π2k+1 (???),
C = 常 數
則 仍 是 未 解 的 問 題 , 與 這 相 關 的 領 域 則 是 著 名 的 Riemann zeta 函 數 。
定 義 2.5. Riemann ζ- 函 數 定 義 為
ζ(s) ≡
∞∑
n=1
1
, Re(s) > 1 (2.8)
ns Euler 還 研 究 了 ζ- 函 數 的 函 數 方 程 , 但 這 些 成 果 卻 徹 底 被 遺 忘 了 , 直 到 1859 年 德 國 數 學 家
B. Riemann (1826–1866) 因 為 研 究 質 數 的 分 佈 才 復 活 了 這 個 課 題 。 其 中 最 著 名 的 Riemann
猜 想 :Riemann ζ- 函 數 ζ(s) 的 零 根 之 實 部 均 為 1/2, 至 今 仍 是 未 解 的 懸 案 。