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32 數 學 傳 播 36 卷 1 期 民 101 年 3 月
兩 式 相 加
所 以
註 解 :
ζ(2) = 4 3
=
= 4 3
2ζ(2) = 1 2 ζ(2) + 2 ∫ 1
∫ 1 ∫ 1
0
∫ π
2
dθ
0
∫ π
2
0
0
∫ π
2 −θ
dθ
0
0
1
1 − x 2 y dxdy 2
∫ π
2 −θ
0
n=1
1
∫ 1
0
1 − ( sin θ
cos ϕ )2 ( sin ϕ
dϕ = π2
6
(1) 值 得 一 提 的 是 相 同 的 技 巧 可 得
∞∑
∫
1 1
ζ(3) =
n = 3
0
1
1 − x 2 y 2 dxdy
cos θ )2 (1 − tan2 θ tan 2 ϕ)dϕ
∫ 1 ∫ 1
0
0
□
1
dxdydz (5.7)
1 − xyz
但 如 何 求 得 右 式 三 重 積 分 之 精 確 值 仍 是 未 解 的 問 題 。 另 外 利 用 等 比 級 數 可 以 將 ζ(3) 表 示 為
雙 重 積 分
ζ(3) = − 1 2
∫ 1 ∫ 1
0
0
1
log xydxdy (5.8)
1 − xy
§6 Fourier 級 數
利 用 Fourier 級 數 也 可 以 得 (2.3)。 函 數 f 之 Fourier 級 數 為
f(x) ∼ a ∞
0
2 + ∑
(a n cos nx + b n sin nx), x ∈ (−π, π) (6.1)
n=1
其 中 Fourier 係 數 a n 、b n 為
⎧ ∫
⎨a n = 1 π
f(x) cos nxdx, n = 0, 1, 2, 3, . . .
π −π
⎩ ∫ (6.2)
b n = 1 π f(x) sin nxdx, n = 1, 2, 3, . . . π −π
考 慮 函 數 f(x) = x 2 由 (6.2) 得 b n = 0 ( 因 為 x 2 在 定 義 域 (−π, π) 是 偶 函 數 !)
其 次 由 分 部 積 分 可 得
a 0 = 1 π
a n = 1 π
∫ π
−π
x 2 dx = 2 π
∫ π
−π
∫ π
0
x 2 dx = 2π2
3
x 2 cos nxdx = 4 n 2 (−1)n