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20 數 學 傳 播 36 卷 1 期 民 101 年 3 月<br />
圖 2.1<br />
sin x<br />
x<br />
但 是 sin 0 = 0, 所 以 由 因 式 定 理 可 以 合 理 假 設<br />
sin x<br />
(1<br />
x = C − x )(<br />
1 + x )(<br />
1 − x<br />
π π 2π<br />
令 x = 0 得 C = lim x→0<br />
sin x<br />
x<br />
= 1<br />
另 一 方 面 由 sin x 的 Taylor 級 數 得<br />
)(<br />
1 + x<br />
2π<br />
)(<br />
1 − x )(<br />
1 + x )<br />
· · ·<br />
3π 3π<br />
( )( )( )<br />
sin x<br />
x = 1 − x2<br />
1 − x2<br />
1 − x2<br />
· · ·<br />
π 2 4π 2 9π<br />
( 2 1<br />
= 1 −<br />
π + 1<br />
2 4π + 1 )<br />
2 9π + · · · x 2 + · · · (2.2)<br />
2<br />
比 較 係 數 得<br />
故 可 以 結 論 。<br />
sin x<br />
x<br />
= 1 − x2<br />
6 + x4<br />
120 − · · ·<br />
1<br />
π 2 + 1<br />
4π 2 + 1<br />
9π 2 + 1<br />
16π 2 + · · · · · · = 1 6<br />
定 理 2.1. (Euler)<br />
∞∑<br />
n=1<br />
1<br />
n = 1 + 1 2 4 + 1 9 + 1<br />
16 + · · · = π2<br />
6<br />
(2.3)<br />
函 數 f(x) = sin x<br />
x<br />
是 一 個 特 別 重 要 的 函 數 , 探 討 Fourier 級 數 的 收 斂 性 時 自 然 而 然 出 現 ,<br />
這 個 函 數 是 典 型 的 Riemann 可 積 ( 瑕 積 分 ) 卻 不 是 Lebesgue 可 積 ( 瑕 積 分 )。
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