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28 數 學 傳 播 36 卷 1 期 民 101 年 3 月<br />
(1) (4.1) 就 是 餘 切 函 數 π cot πx 的 部 份 分 式 展 開<br />
π cot πx = 1 ∞<br />
x + ∑<br />
( 1<br />
x + n + 1 )<br />
x − n<br />
n=1<br />
(4.3)<br />
所 以 π cot πx 之 極 點 在 x = n ∈ Z, 且 留 數 (residue) 都 等 於 1, 這 個 現 象 也 提 供 了 利 用 留<br />
數 定 理 求 得 級 數 和 之 線 索 。<br />
(2) 利 用 cos x 與 sin x 的 Taylor 級 數 可 得<br />
或<br />
cot x = cos x<br />
sin x = 1 x − x 3 − x3<br />
45 − 2x5<br />
945 − x7<br />
4725 − · · ·<br />
πx cot πx = 1 − π2<br />
3 x2 − π4<br />
45 x4 − 2π6<br />
945 x6 − π8<br />
4725 x8 − · · · (4.4)<br />
比 較 (4.2)、 (4.4) 兩 式 可 以 再 次 推 得<br />
ζ(2) = π2<br />
6<br />
π4 π6<br />
π8<br />
, ζ(4) = , ζ(6) = , ζ(8) =<br />
90 945 9450 , · · ·<br />
定 理 4.2. 已 知 f(z) 是 複 數 平 面 上 的 半 純 函 數 (meromorphic function), a 1 、a 2 、· · · 、a m 是<br />
f 的 有 限 個 極 點 (pole) 而 且 a i ∉ Z, 假 設 lim z→∞ zf(z) = 0, 則<br />
N∑<br />
m∑<br />
)<br />
lim f(n) = − Res<br />
(πf(z) cot πz; a k<br />
N→∞<br />
n=−N<br />
k=1<br />
(4.5)<br />
圖 4.1<br />
圍 道 C N<br />
對 照 (2.3) 自 然 需 選 取 f(z) = 1/z 2 π cot πz<br />
, 所 以 考 慮 函 數 計 算 得<br />
z 2<br />
π cot πz<br />
z 2<br />
π cos πz<br />
=<br />
z 2 sin πz = 1 − π2 z 2<br />
z 3 (1 − π2 z 2<br />
2!<br />
+ π4 z 4<br />
3!<br />
+ π4 z 4<br />
4!<br />
− · · ·<br />
5!<br />
− · · · )
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