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34 數 學 傳 播 36 卷 1 期 民 101 年 3 月
§7 微 分 方 程
方 程
如 果 由 微 分 方 程 的 角 度 來 看 (2.3) 也 是 很 有 意 思 , 首 先 證 明 y = 1 2 (sin−1 x) 2 是 二 階 微 分
(1 − x 2 )y ′′ − xy ′ = 1 (7.1)
的 解 , 讀 者 有 興 趣 可 以 令 z = y ′ 則 (7.1) 化 為 z 的 一 階 微 分 方 程 (1 − x 2 )z ′ − xz = 1, 然
後 藉 由 積 分 因 子 得 到 精 確 解 。 其 次 將 y = 1 2 (sin−1 x) 2 表 為 無 窮 級 數 然 後 再 利 用 Wallis 積 分
(3.9) 可 證 明 ζ(2) = π2 , 但 是 Euler 無 法 將 這 個 方 法 推 廣 至 ζ(2n)、 n ≥ 2。 其 想 法 如 下 :
6
∫
1
x
( ) ∫ 1 x
2 (sin−1 x) 2 = d
2 (sin−1 x) 2 sin −1 t
= √ dt (7.2)
1 − t
2
另 外 利 用 二 項 式 展 開 可 得 sin −1 t 的 Taylor 展 開 式
sin −1 t =
代 回 (7.2) 並 逐 項 積 分
1
2 (sin−1 x) 2 =
∫ x
0
∫ t
0
0
1
√ du = t + ∑ ∞
1 − u
2
t
√ dt + ∑ ∞
1 − t
2
n=1
我 們 討 論 (7.4) 最 後 一 個 積 分 , 為 了 方 便 定 義
則 由 分 部 積 分 得 遞 迴 關 係 式
I n (x) =
∫ x
0
I n (x) ≡
t n+1 t
√
1 − t
2 dt
n=1
1 · 3 · · · (2n − 1)
2 · 4 · · · 2n
∫ x
= −x n+1√ 1 − x 2 + (n + 1)
0
0
1 · 3 · · · (2n − 1)
2 · 4 · · · 2n
1
2n + 1
∫ x
0
t 2n+1
2n + 1
(7.3)
t 2n+1
√ dt (7.4)
1 − t
2
t n+2
√ dt (7.5)
1 − t
2
∫ x
0
t n√ 1 − t 2 dt
= −x n+1√ 1 − x 2 + (n + 1)I n−2 (x) − (n + 1)I n (x)
整 理 得 (n + 2)I n = (n + 1)I n−2 − x n+1√ 1 − x 2 , 即
∫ x
0
t n+2
√ dt = n + 1
1 − t
2 n + 2
∫ x
將 n 代 換 為 2n − 1 並 令 x = 1 則 遞 迴 關 係 式 (7.6) 為
∫ 1
0
t 2n+1
√
1 − t
2 dt =
0
2n ∫ 1
2n + 1 0
t n xn+1
√ dt − 1 − t
2 n + 2
(
∫ 1
因 為
0
t 2n−1
√
1 − t
2 dt
√
1 − x
2
(7.6)
√ t
1−t 2
dt = 1
)