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24 數 學 傳 播 36 卷 1 期 民 101 年 3 月
如 果 作 一 下 變 數 變 換 , z → z a , 則 上 式 成 為
z n − a n = (z − a)
(n−1)/2
∏
k=1
令 z = 1 + x N 、a = 1 − x N , 且 取 n = N, 則
(
1 + x ) N (
− 1 − x ) N
= 2x
N N N
提 出 因 式 2(1 − cos 2kπ
N )
= 2x
N
(N−1)/2
∏
k=1
(N−1)/2
∏
k=1
(
1 + x ) N (
− 1 − x ) N
= 2x
(N−1)/2
∏
N N N
其 中
= Cx
C = 2 N
k=1
(N−1)/2
∏
k=1
(
2
(N−1)/2
∏
k=1
(
z 2 − 2az cos 2kπ
n + a2 )
( )
(2 + 2x2
N − 2 1 − x2
cos 2kπ )
2 N 2 N
( (
2 1 − cos 2kπ ) (
+ 2x2 1 + cos 2kπ ) )
N N 2 N
1 − cos 2kπ
N
(1 + x2
N 2 · 1 + cos(2kπ/N)
1 − cos(2kπ/N)
(
2
1 − cos 2kπ
N
) ( 1 + x2
N · 1 + cos(2kπ/N)
2 1 − cos(2kπ/N)
)
)
)
(3.3)
由 於 多 項 式 (1 + x N )N − (1 − x N )N 中 x 之 係 數 等 於 2 故 由 (3.3) 乘 積 的 部 份 直 接 令 x = 0
左 式 則 由 L’Hospital 法 則 可 得
另 外
所 以
令 N → ∞ 則 由 (3.3) 推 得
C = lim
x→0
(1 + x N )N − (1 − x N )N
x
cos y ≈ 1 − y2
2 , 0 ≤ y ≪ 1
x 2
N · 1 + cos(2kπ/N)
2 1 − cos(2kπ/N) ≈ x2 2
N 2 1
e x − e −x
2
= 2,
( = 2kπ
2 N )2
x2
k 2 π 2
)( )( )
= x
(1 + x2
1 + x2
1 + x2
· · · (3.4)
π 2 4π 2 9π 2