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關 於 Euler 級 數 的 幾 個 觀 點 17
圖 1.1 Jacob Bernoulli 圖 1.2 L. Euler
按 瑞 典 數 學 家 Lars Garding 在 其 通 俗 名 著 《Encounter with Mathematics》 中 對 於
級 數 的 評 論 : 『 級 數 只 是 一 個 數 學 工 具 , 它 本 身 並 不 構 成 一 個 數 學 的 獨 立 分 支 。』 雖 然 如 此 , 但
在 19 世 紀 與 20 世 紀 初 , 級 數 在 大 學 仍 然 視 為 一 門 專 業 的 科 目 , 甚 至 還 有 發 散 級 數 (divergent
series) 這 門 課 。 在 微 積 分 發 展 的 初 期 , 牛 頓 、Leibniz、Bernoulli 兄 弟 、Euler 等 人 在 做 微 分 ( 積
分 ) 時 , 通 常 是 將 函 數 表 示 為 級 數 , 而 後 再 逐 項 微 分 ( 積 分 ) 。 Euler、Lagrange 甚 至 相 信 所 有
的 函 數 都 可 以 表 示 為 無 窮 級 數 , 在 數 學 的 發 展 史 , 甚 至 有 一 段 時 間 為 了 怎 樣 的 函 數 才 可 以 表 示
為 無 窮 ( 三 角 ) 級 數 而 開 啟 了 從 D. Bernoulli、 d’Alembert 一 直 到 Fourier 的 《 函 數 百 年 論
戰 》。
古 希 臘 大 哲 學 家 亞 里 斯 多 得 就 已 經 會 用 等 比 級 數 。 中 古 世 紀 著 名 的 哲 學 家 Nicole Oresme
( 或 Nicolas d’Oresme; 1320(5)–1382) 是 歷 史 上 第 一 個 證 明 調 和 級 數
1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + · · · (1.1)
是 發 散 級 數 , 他 的 想 法 是 等 比 級 數
1 + 1 ( 1
2 + 3 + 1 ) ( 1
+
4 5 + · · · + 1 ( 1
+
8)
9 16)
+ · · · + 1 + · · ·
≥ 1 + 1 ( 1
2 + 4 + 1 ) ( 1
+
4 8 + · · · + 1 ( 1
+
8)
16 16)
+ · · · + 1 + · · ·
= 1 + 1 2 + 2 4 + 4 8 + · · · = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + · · · (1.2)
最 後 的 級 數 有 無 窮 多 個 1/2, 所 以 發 散 , 因 此 原 調 和 級 數 (1.1) 發 散 。 既 然 想 法 是 等 比 級 數 就 是
沒 有 限 定 是 1/2 n , 我 們 也 可 以 考 慮 1/3 n
( 1
1 +
2 + 1 ( 1
+
3)
4 + · · · + 1 ( 1
+
9)
10 27)
+ · · · + 1 + · · ·