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關 於 Euler 級 數 的 幾 個 觀 點 21
系 2.2. (Euler)
∞∑ 1
(a)
(2n) = 1 2 4 + 1
16 + 1
36 + 1 64 + · · · = π2
24
n=1
∞∑ 1
(b)
(2n − 1) = 1 + 1 2 9 + 1 25 + 1
49 + · · · = π2
8
n=1
證 明 : (a) 利 用 Euler 的 公 式 (2.3)
∞∑
n=1
1
(2n) 2 = 1 4
∞∑
n=1
1
n 2 = 1 4 × π2
6 = π2
24
(b) 由 Euler 的 結 果 (2.3), 把 級 數 分 為 偶 數 與 奇 數 兩 部 份 並 利 用 (a) 的 結 果
故
∞∑
n=1
1
n = ∑ ∞ 2
∞∑
n=1
n=1
1
(2n − 1) + ∑ ∞ 2
n=1
1
(2n) 2
1
(2n − 1) = π2
2 6 − π2
24 = π2
8
□
Euler 的 方 法 並 沒 有 限 制 在 平 方 和 , 如 果
1 + A 1 z + A 2 z 2 + A 3 z 3 + · · · = (1 + α 1 z)(1 + α 2 z)(1 + α 3 z) · · · (2.4)
令 各 次 方 的 和 依 次 為
S 1 = α 1 + α 2 + α 3 + α 4 + · · ·
S 2 = α1 2 + α2 2 + α3 2 + α4 2 + · · · (2.5)
S 3 = α1 3 + α2 3 + α3 3 + α4 3 + · · ·
經 由 比 較 係 數 後 , 可 得 下 列 等 式
S 1 = A 1
S 2 = A 1 S 1 − 2A 2
(2.6)
S 3 = A 1 S 2 − A 2 S 1 + 3A 3
S 4 = A 1 S 3 − A 2 S 2 + A 3 S 1 − 4A 4
利 用 這 些 關 係 可 求 得 底 下 級 數 的 和 。