problemi ai limiti per equazioni differenziali ordinarie - Sezione di ...

che da luogo allo schema alle differenze finite lineare⎧y ⎪⎨ 0 = α, y N+1 = β,⎪⎩− y i+1 − 2y i + y i−1h 2+ p(x i ) y i+1 − y i−12h+ q(x i )y i = r(x i ), i = 1,2,... ,N.In modo analogo a quanto fatto nel caso non lineare, definiamo l’operatore differenzialediscreto (lineare) che agisce sulla funzione discreta y d = {y i } N+1i=0 :(K h y d ) i = − y i+1 − 2y i + y i−1h 2cosicché lo schema numerico diventa⎧⎪⎨ y 0 = α, y N+1 = β,⎪⎩+ p(x i ) y i+1 − y i−12h(K h y d ) i = r(x i ), i = 1,2,... ,N.+ q(x i )y i , (2.23)(2.24)Se con (K h y e ) i indichiamo l’operatore discreto che agisce sulla soluzione esatta discretay e = {y(x i )} N+1i=0 , cioè(K h y e ) i = − y i+1 − 2y i + y i−1h 2= h212 [2p(x i)y (3) (η i ) − y (4) (ξ i )] ,+ p(x i ) y i+1 − y i−12hallora l’errore di troncamento dello schema numerico è dato daR(x i ,y(x i );h;f) = (K y)(x i ) − (K h y e ) i =+ q(x i )y i == − h212 [2p(x i)y ′′′ (η i ) − y (4) (ξ i )] = r(x i ) − (K h y e ) i .(2.25)(2.26)Poiché R(x i ,y(x i );h;f) = O(h 2 ), il metodo alle differenze finite lineare è consistente e delsecondo ordine; inoltre è esatto per tutti i polinomi di grado ≤ 2.Definizione 2.2. Uno schema alle differenze finite lineare è detto stabile se, data una funzionediscreta v = {v i } N+1i=0 , definita sulla discretizzazione (2.1), esiste una costante M tale che{}max |v i| ≤ M max (|v 0 |, |v N+1 |) + max |(K h v) i | . (2.27)0≤i≤N+1 1≤i≤NTeorema 2.2. Siano L = max |p(x)| e 0 < Q = min q(x). Se hL ≤ 2, allora lo schema allea≤x≤b a≤x≤bdifferenze finite lineari è stabile con M = max(1,1/Q).La consistenza e la stabilità implicano la convergenza dello schema lineare e inoltre per l’erroreglobale di troncamento si ha la limitazionemax |e i| = max |y(x i) − y i | ≤0≤i≤N+1 0≤i≤N+1≤ M max1≤i≤N |(K h y e ) i − (K h y d ) i | = M max1≤i≤N |R(x i,y(x i );h;f)|.(2.28)11