problemi ai limiti per equazioni differenziali ordinarie - Sezione di ...

mentre la soluzione esatta è data da y(x) = sin(πx). In tabella sono riportati i valori numericie l’errore.i x i y(x i ) y 9 (x i ) = γ i |y(x i ) − γ i |1 0.1 0.30902 0.31029 0.001272 0.2 0.58779 0.59020 0.002413 0.3 0.80902 0.81234 0.003324 0.4 0.95106 0.95496 0.003905 0.5 1.00000 1.00411 0.004116 0.6 0.95106 0.95496 0.003907 0.7 0.80902 0.81234 0.003328 0.8 0.58779 0.59020 0.002419 0.9 0.30902 0.31029 0.001273.3 Metodo di GalerkinIn questo metodo i coefficienti incogniti γ j , j = 1,2,... ,N, vengono determinati imponendoche y N soddisfi il principio dei lavori virtuali (3.5). Questo vuol dire che y N deve soddisfare ilseguente problema discreto∫ 10{} ∫ 1p(x)y N ′ (x)u′ N (x) + q(x)y N(x)u N (x) dx = f(x)u N (x)dx) (3.12)0per ogni u N ∈ V N . Sostituendo nella (3.12) l’espressioni di y N data in (3.11) e ponendoN∑u N (x) = c j ψ j (x), x ∈ [0,1],j=1si ottiene un sistema lineare che, a causa della simmetria dell’equazione variazionale, coincidecon quello che si ottiene con il metodo di Rayleigh-Ritz. Allora la soluzione del sistema è unicae quindi esiste un’unica approssimazione y N della soluzione del principio dei lavori virtuali.Per quanto riguarda la convergenza e l’ordine valgono considerazioni analoghe a quelle fatteper il metodo di Rayleigh-Ritz.4 Metodo di Newton per sistemi non lineariConsideriamo il sistema non lineareF(X) = 0 (4.13)con X = [x 1 ,x 2 ,...,x n ] T e F(X) = [f 1 (X),f 2 (X),... ,f n (X)] T . Una soluzione del sistema(4.13) è un vettore ¯X = [¯x 1 , ¯x 2 ,... , ¯x n ] T tale cheF( ¯X) = 0.Se le funzioni f 1 (x 1 ,... ,x n ),... ,f n (x 1 ,... ,x n ), ammettono derivate parziali limitate, allora lasoluzione ¯X può essere approssimata con il metodo di Newton. Partendo da una approssimazione20