problemi ai limiti per equazioni differenziali ordinarie - Sezione di ...

3.1 Metodo di Rayleigh-RitzNel metodo di Rayleigh-Ritz le incognite γ j , j = 1,... ,N, vengono determinate minimizzandol’integrale (3.4) non su tutte le funzioni u ∈ C0 2 ([0,1]), ma sull’insieme più piccolo di funzioni cheappartengono allo spazio V N . In altre parole, l’approssimazione [ y N (x) di y si ottiene trovando∑Nj=1 ]i valori di γ j , j = 1,... ,N, che minimizzano l’integrale I γ j ψ j .Dall’equazione (3.4) si ha⎡ ⎤N∑I[y N ] = I ⎣ γ j ψ j⎦ ==j=1 ⎧∫ 10⎡⎪⎨⎪⎩ p(x) ⎣⎤2⎡ ⎤2⎡ ⎤⎫N∑N∑N∑⎪⎬γ j ψ j ′(x) ⎦ + q(x) ⎣ γ j ψ j (x) ⎦ − 2f(x) ⎣ γ j ψ j (x) ⎦j=1j=1j=1⎪⎭ dx.Affinché I, come funzione di γ 1 ,... ,γ N , abbia un minimo deve essere∂I∂γ k= 0,k = 1,2,... ,N,quindi∂I∂γ k=⎧∫ 1 ⎨0⎫N⎩ 2p(x) ∑N γ j ψ j ′(x)ψ′ k (x) + 2q(x) ∑⎬γ j ψ j (x)ψ k (x) − 2f(x)ψ k (x) dx = 0,⎭j=1j=1k = 1,2,... ,N.Le equazioni precedenti formano un sistema lineare di N equazioni nelle N incognite Γ =[γ 1 ,...,γ N ] T . La matrice dei coefficienti A, chiamata matrice di rigidità (stiffness matrix), èsimmetrica e ha elementia jk =∫ 10{}p(x)ψ j(x)ψ ′ k(x) ′ + q(x)ψ j (x)ψ k (x) dx; (3.6)il termine noto F, chiamato vettore di carico (load vector), ha elementi3.2 Elementi finiti linearif k =∫ 10f(x)ψ k (x)dx. (3.7)Nel metodo degli elementi finiti lineari si sceglie come spazio di funzioni approssimanti V N lospazio delle funzioni spline lineari nell’intervallo [0,1] che assumono valore nullo agli estremidell’intervallo.Sia ∆ : 0 = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x N < x N+1 = 1 una partizione dell’intervallo [0,1] e siah i = x i − x i−1 , i = 1,2,... ,N + 1, allora V N è lo spazio dei polinomi lineari a tratti in [0,1] conderivata discontinua nei nodi x i , i = 1,2,... ,N, e che assumono valore 0 in x 0 = 0 e x N+1 = 1.15