problemi ai limiti per equazioni differenziali ordinarie - Sezione di ...

Quindi, per trovare la soluzione approssimata {y i } N i=0 , si deve risolvere il sistema non lineare⎧(2y 1 − y 2 + h 2 f x 1 ,y 1 , y )2 − α− α = 0,2h⎪⎨⎪⎩(−y 1 + 2y 2 − y 3 + h 2 f x 2 ,y 2 , y )3 − y 1= 0,2h..........................................................................(−y N−2 + 2y N−1 − y N + h 2 f x N−1 ,y N−1 , y )N − y N−2= 0,2h(−y N−1 + 2y N + h 2 f x N ,y N , β − y )N−1− β = 0,2h(2.10)di N equazioni nelle N incognite y 1 ,y 2 ,...,y N .Prima di passare alla soluzione numerica del sistema non lineare (2.10) si deve verificare selo schema alle differenze finite costruito è convergente, cioè selim max |e i| = 0, (2.11)h→0 1≤i≤Ndove e i = |y(x i )−y i | è l’errore globale di troncamento. Come nel caso dei metodi per la soluzionedi problemi ai valori iniziali, la convergenza è assicurata se lo schema numerico è consistente estabile.Per studiare la consistenza e la stabilità dello schema alle differenze finite non lineare introduciamol’operatore differenziale discreto (non lineare) (L h y d ) i che agisce sulla funzione discretay d = {y i } N i=1 , associata alla discretizzazione (2.1), secondo lo schema alle differenze (2.9):(L h y d ) i := − y i+1 − 2y i + y i−1h 2(+ fx i ,y i , y i+1 − y i−12h). (2.12)Allora lo schema numerico (2.9) diventa⎧⎪⎨⎪⎩y 0 = α, y N+1 = β,(L h y d ) i = 0, i = 1,2,... ,N.(2.13)Tramite la soluzione esatta y(x) si può definire la funzione discreta y e := {y(x i )} N i=1 ; allora,(L h y e ) i = − y(x i+1) − 2y(x i ) + y(x i−1 )h 2(+ f x i ,y(x i ), y(x )i+1) − y(x i−1 )2hrappresenta l’operatore discreto che agisce sulla soluzione esatta.(2.14)5