problemi ai limiti per equazioni differenziali ordinarie - Sezione di ...

a k,k+1 =∫ 10{}p(x)ψ k ′ (x)ψ′ k+1 (x) + q(x)ψ k(x)ψ k+1 (x) dx =( ) 1 2 ∫ xk+1( ) 1 2 ∫ xk+1= −p(x)dx +(x k+1 − x)(x − x k )q(x)dxh k+1 x kh k+1x kk = 1,2,... ,N − 1a k,k−1 =f k =∫ 10∫ 10{}p(x)ψk ′ (x)ψ′ k−1 (x) + q(x)ψ k(x)ψ k−1 (x) dx =( ) 1 2 ∫ xk( ) 1 2 ∫ xk= − p(x)dx + (x k − x)(x − x k−1 )q(x)dxh k x k−1h k x k−1f(x)ψ k (x)dx == 1 ∫ xk(x − x k−1 )f(x)dx + 1 ∫ xk+1h k x k−1h k+1k = 2,... ,Nx k(x k+1 − x)f(x)dx k = 1,2,... ,N.Osserviamo che la matrice A è tridiagonale poiché ciascuna funzione ψ j , j = 1,2,... ,N, èdiversa da zero solo nell’intervallo (x j−1 ,x j+1 ) e quindi si sovrappone solo alle funzioni ψ j−1 eψ j+1 .Ci sono sei tipi di integrali da calcolare. DefinendoQ 1,k =1(h k+1 ) 2 ∫ xk+1x k(x k+1 − x)(x − x k )q(x)dx, k = 1,2,... ,N − 1,Q 2,k = 1(h k ) 2 ∫ xkx k−1(x − x k−1 ) 2 q(x)dx,k = 1,2,... ,N,Q 3,k =1(h k+1 ) 2 ∫ xk+1x k(x k+1 − x) 2 q(x)dx, k = 1,2,... ,N,Q 4,k = 1(h k ) 2 ∫ xkx k−1p(x)dx, k = 1,2,... ,N + 1,Q 5,k = 1 h k∫ xkx k−1(x − x k−1 )f(x)dx,k = 1,2,... ,N,Q 6,k = 1h k+1∫ xk+1x k(x k+1 − x)f(x)dx, k = 1,2,... ,N,17