problemi ai limiti per equazioni differenziali ordinarie - Sezione di ...

Teorema 3.1. Siano p ∈ C 1 ([0,1]), q e f ∈ C([0,1]) ed esista una costante δ > 0 tale chep(x) ≥ δ e, inoltre, q(x) ≥ 0 per x ∈ [0,1]. La funzione y ∈ C0 2 ([0,1]) è l’unica soluzionedell’equazione differenziale− d (p(x) dy )+ q(x)y = f(x), 0 < x < 1, (3.2)dx dxcon condizioni al bordoy(0) = y(1) = 0, (3.3)se e solo se è l’unica funzione in C0 2 ([0,1]) che minimizza l’integraleI[u] =∫ 10o, equivalentemente, che soddisfa l’equazione variazionale∫ 10dove u ∈ C 1 ([0,1]) con u(0) = u(1) = 0.{}p(x)[u ′ (x)] 2 + q(x)[u(x)] 2 − 2f(x)u(x) dx. (3.4){}p(x)y ′ (x)u ′ (x) + q(x)y(x)u(x) dx =∫ 10f(x)u(x)dx, (3.5)L’integrale I[u] rappresenta l’energia del sistema, quindi la soluzione y è quella che minimizzal’energia; la forma variazionale (3.5) invece è il principio dei lavori virtuali.Quando la soluzione y è sufficientemente regolare, allora le tre formulazioni del problemasono equivalenti e si può scegliere quella che si ritiene più conveniente dal punto di vistanumerico. Poichè la regolarità della soluzione dipende dal dato f, è sufficiente che f siacontinua perché y ∈ C 2 ([0,1]).D’altra parte, la formulazione variazionale, sia in termini di energia che attraverso il principiodei lavori virtuali, ha senso anche quando il dato f è meno regolare (per esempio, costantea tratti oppure concentrato in alcuni punti): in questi casi il problema fisico viene formulatodirettamente nella forma variazionale, mentre la forma differenziale perde di significato. Osserviamoche le formulazioni variazionali (3.4) e (3.5) sono definite sotto ipotesi meno restrittivesulla y, infatti è sufficiente che y ∈ C 0 ([0,1]) e y ′ sia continua a tratti perchè gli integrali abbianosenso.La soluzione del problema differenziale (3.1) appartiene allo spazio di dimensione infinitaC 2 0 ([0,1]). Nel metodo degli elementi finiti si approssima la soluzione in uno spazio V N di dimesionefinita N. Se le funzioni {ψ 1 ,ψ 2 ,... ,ψ N } formano una base in V N , l’approssimazione y Ndi V N può essere scritta nella formay N (x) = γ 1 ψ 1 (x) + γ 2 ψ 2 (x) + · · · γ N ψ N (x).Le funzioni ψ j , j = 1,2,... ,N, sono chiamate funzioni prova (trial functions), e sono usualmentefamiglie di polinomi ortogonali (Chebyshev, Legendre, Lagrange), funzioni splines oppurefunzioni trigonometriche. I parametri γ j , j = 1,2,... ,N, detti gradi di libertà , sono le incognitedel problema.I coefficienti incogniti γ j , j = 1,2,... ,N, vengono determinati imponendo che y N soddisfi ilprincipio del minimo dell’energia (metodo di Rayleigh-Ritz) oppure il principio dei lavori virtuali(metodo di Galerkin).14