problemi ai limiti per equazioni differenziali ordinarie - Sezione di ...

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C 4 [x i−1 ,x i+1 ]:y(x i+1 ) = y(x i + h) = y(x i ) + hy ′ (x i ) + 1 2! h2 y ′′ (x i ) + 1 3! h3 y ′′′ (x i )++ 1 4! h4 y (4) (ξ + i ), ξ+ i ∈ (x i ,x i+1 ),y(x i−1 ) = y(x i − h) = y(x i ) − hy ′ (x i ) + 1 2! h2 y ′′ (x i ) − 1 3! h3 y ′′′ (x i )++ 1 4! h4 y (4) (ξ − i ), ξ− i ∈ (x i−1 ,x i ).Sommando le due equazioni e usando il teorema della media si hay ′′ (x i ) = y(x i+1) − 2y(x i ) + y(x i−1 )h 2− h212 y(4) (ξ i ), ξ i ∈ (x i−1 ,x i+1 ). (2.6)Questa è la formula alle differenze finite centrate per y ′′ (x i ) e ha errore di troncamentoτ(x i ,y(x i );h;f) = − h212 y(4) (ξ i ) = O(h 2 ). (2.7)2.1 Metodo alle differenze finite non lineariSostituendo le formule alle differenze finite centrate (2.4) e (2.6) nell’equazione (2.2) si ha− y(x (i+1) − 2y(x i ) + y(x i−1 )h 2 +f x i ,y(x i ), y(x i+1) − y(x i−1 )−2h)− h26 y(3) (η i ) + h212 y(4) (ξ i ) = 0.Il metodo alle differenze finite non lineare si ottiene trascurando nella (2.8), che è una relazioneesatta, gli errori di troncamento (2.5) e (2.7), dovuti alle formule alle differenze finite, eaggiungendo le condizioni al bordo (1.2). Se con y i indichiamo l’approssimazione di y(x i ) si ha⎧⎪⎨⎪⎩y 0 = α, y N+1 = β,− y i+1 − 2y i + y i−1h 2(+ f x i ,y i , y )i+1 − y i−1= 0, i = 1,2,... ,N.2h(2.8)(2.9)4
Quindi, per trovare la soluzione approssimata {y i } N i=0 , si deve risolvere il sistema non lineare⎧(2y 1 − y 2 + h 2 f x 1 ,y 1 , y )2 − α− α = 0,2h⎪⎨⎪⎩(−y 1 + 2y 2 − y 3 + h 2 f x 2 ,y 2 , y )3 − y 1= 0,2h..........................................................................(−y N−2 + 2y N−1 − y N + h 2 f x N−1 ,y N−1 , y )N − y N−2= 0,2h(−y N−1 + 2y N + h 2 f x N ,y N , β − y )N−1− β = 0,2h(2.10)di N equazioni nelle N incognite y 1 ,y 2 ,...,y N .Prima di passare alla soluzione numerica del sistema non lineare (2.10) si deve verificare selo schema alle differenze finite costruito è convergente, cioè selim max |e i| = 0, (2.11)h→0 1≤i≤Ndove e i = |y(x i )−y i | è l’errore globale di troncamento. Come nel caso dei metodi per la soluzionedi problemi ai valori iniziali, la convergenza è assicurata se lo schema numerico è consistente estabile.Per studiare la consistenza e la stabilità dello schema alle differenze finite non lineare introduciamol’operatore differenziale discreto (non lineare) (L h y d ) i che agisce sulla funzione discretay d = {y i } N i=1 , associata alla discretizzazione (2.1), secondo lo schema alle differenze (2.9):(L h y d ) i := − y i+1 − 2y i + y i−1h 2(+ fx i ,y i , y i+1 − y i−12h). (2.12)Allora lo schema numerico (2.9) diventa⎧⎪⎨⎪⎩y 0 = α, y N+1 = β,(L h y d ) i = 0, i = 1,2,... ,N.(2.13)Tramite la soluzione esatta y(x) si può definire la funzione discreta y e := {y(x i )} N i=1 ; allora,(L h y e ) i = − y(x i+1) − 2y(x i ) + y(x i−1 )h 2(+ f x i ,y(x i ), y(x )i+1) − y(x i−1 )2hrappresenta l’operatore discreto che agisce sulla soluzione esatta.(2.14)5
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Page 6 and 7: Confrontando la (2.14) con la (2.8)
Page 8 and 9: La matrice Jacobiana J(y 1 ,... ,y
Page 10 and 11: si applica avendo le tre approssima
Page 12 and 13: In questo caso la soluzione appross
Page 14 and 15: Teorema 3.1. Siano p ∈ C 1 ([0,1]
Page 16 and 17: Le funzioni di base ψ j , j = 1,2,
Page 18 and 19: si possono scrivere gli elementi de
Page 20 and 21: mentre la soluzione esatta è data

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