problemi ai limiti per equazioni differenziali ordinarie - Sezione di ...

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si possono scrivere gli elementi della matrice di rigidità A e del vettore di carico F in modo piùcompatto:a k,k = Q 4,k + Q 4,k+1 + Q 2,k + Q 3,k , k = 1,2,... ,N,a k,k+1 = −Q 4,k+1 + Q 1,k , k = 1,2,... ,N − 1,a k,k−1 = −Q 4,k + Q 1,k−1 ,k = 2,3,... ,N,f k = Q 5,k + Q 6,k ,k = 1,2,... ,N.Risolvendo il sistema lineare AΓ = F si trovano le incognite Γ che permettono di costruirel’approssimazione y N .Si può dimostrare che la matrice tridiagonale A è simmetrica e definita positiva quindi ilsistema lineare ammette un’unica soluzione ed è anche ben condizionato. Inoltre, sotto le ipotesisu p, q, e f date nel Teorema 3.1, si hamaxx∈[0,1] |y(x) − y N(x)| = O(h 2 ), x ∈ [0,1],quindi il metodo è convergente e del secondo ordine.La difficoltà di questo metodo sta nel dover valutare i 6n integrali Q j,k , che possono esserecalcolati direttamente solo in casi elementari. In generale bisogna ricorrere a una formula diquadratura oppure si possono approssimare le funzioni p, q e f con un polinomio lineare a trattie integrare poi tale polinomio.Per ottenere funzioni approssimanti più regolari si può approssimare la soluzione y(x) confunzioni splines di ordine più elevato; ad esempio, se si usano le spline cubiche l’approssimantey N è in C0 2 ([0,1]), però in questo caso le funzioni di base hanno un supporto più ampio e lamatrice di rigidità è pentadiagonale. Come conseguenza aumenta il costo computazionale siadella costruzione della matrice di rigidità , che è meno sparsa, sia della soluzione del sistemalineare.Esempio 3.1Consideriamo il problema ai limiti{−y ′′ + π 2 y = 2π sin(πx), 0 ≤ x ≤ 1,y(0) = y(1) = 0.Per approssimare la soluzione introduciamo una partizione di 10 nodi equispaziati con passoh k = h = 0.1, quindi x k = 0.1k, k = 0,1,... ,10. In questo caso gli integrali Q j,k possono essere18
calcolati esattamente:Q 1,k = 100∫ 0.1k+0.10.1k(0.1k + 0.1 − x)(x − 0.1k)π 2 dx = π260 ,∫ 0.1kQ 2,k = 100 (x − 0.1k + 0.1) 2 π 2 dx = π20.1k−0.130 ,∫ 0.1k+0.1Q 3,k = 100 (0.1k + 0.1 − x) 2 π 2 dx = π20.1k30 ,∫ 0.1kQ 4,k = 100 dx = 10,0.1k−0.1∫ 0.1kQ 5,k = 10 (x − 0.1k + 0.1)2π 2 sin(πx)dx =0.1k−0.1= −2π cos(0.1πk) + 20[sin(0.1πk) − sin(0.1k − 0.1)π)],∫ 0.1k+0.1Q 6,k = 10 (0.1k + 0.1 − x)2π 2 sin(πx)dx =0.1k= 2π cos(0.1πk) − 20[sin(0.1k + 0.1)π) − sin(0.1πk)].Gli elementi di A e F sono dati daLa soluzione del sistema tridiagonale èa k,k = 20 + π2, k = 1,2,... ,9,15a k,k+1 = −10 + π2, k = 1,2,... ,8,60a k,k−1 = −10 + π2, k = 2,3,... ,9,60f k = 40sin(0.1πk)[1 − cos(0.1π)], k = 1,2,... ,9.γ 9 = 0.31029, γ 8 = 0.59020, γ 7 = 0.81234,γ 6 = 0.95496, γ 5 = 1.00411, γ 4 = 0.95496,γ 3 = 0.81234, γ 2 = 0.59020, γ 1 = 0.31029.L’approssimazione polinomiale a tratti della soluzione èy 9 (x) =9∑γ k ψ k (x),k=119
Page 2 and 3: Considereremo qui metodi numerici p
Page 4 and 5: C 4 [x i−1 ,x i+1 ]:y(x i+1 ) = y
Page 6 and 7: Confrontando la (2.14) con la (2.8)
Page 8 and 9: La matrice Jacobiana J(y 1 ,... ,y
Page 10 and 11: si applica avendo le tre approssima
Page 12 and 13: In questo caso la soluzione appross
Page 14 and 15: Teorema 3.1. Siano p ∈ C 1 ([0,1]
Page 16 and 17: Le funzioni di base ψ j , j = 1,2,
Page 20 and 21: mentre la soluzione esatta è data

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