problemi ai limiti per equazioni differenziali ordinarie - Sezione di ...

Esempio 2.1Consideriamo il problema ai limiti non lineare⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩y ′′ = 1 8 (32 + 2x3 − yy ′ ), 1 ≤ x ≤ 3,y(1) = 17, y(3) = 433 .Applicando il metodo alle differenze finite non lineare con passo h = 0.1 e nodi x i = 1.0 + ih,i = 0,1,... ,20, si ottiene il sistema non lineare⎧2y 1 − y 2 + h 21 ()32 + 2x 3 18− y y 2 − α1 − α = 0,2h−y 1 + 2y 2 − y 3 + h 21 8()32 + 2x 3 2 − y y 3 − y 12 = 0,2h..........................................................................−y N−2 + 2y N−1 − y N + h 21 8−y N−1 + 2y N + h 21 8()32 + 2x 3 N−1 − y y N − y N−2N−1 = 0,2h(32 + 2x 3 N − y N)β − y N−1− β = 0,2hla cui matrice Jacobiana è⎧−1 − h 2y i, i = j − 1,j = 2,... ,N,8⎪⎨[J(y 1 ,... ,y n )] ij=⎪⎩2 − h 2−1 + h 2y i+1 − y i−1, i = j,j = 1,... ,N,8y i, i = j + 1,j = 1,... ,N − 1.8Nella tabella di seguito è riportata la soluzione approssimata ottenuta con il metodo di Newtonutilizzando come criterio di arresto max 1≤x≤20 |y (k+1)i − y (k)i | ≤ 10 −8 ; per confronto è riportataanche la soluzione esatta.L’approssimazione può essere migliorata tramite l’estrapolazione di Richardson. Se con y (h)i indichiamol’approssimazione ottenuta con passo di integrazione h, l’estrapolazione di Richardson9