problemi ai limiti per equazioni differenziali ordinarie - Sezione di ...

In questo caso la soluzione approssimata Y = [y 1 ,y 2 , · · · ,y N ] T si ottiene risolvendo il sistemalineare tridiagonale di N equazioni in N incognitedove⎡A =⎢⎣eAY = B,2 + h 2 q(x 1 ) −1 + h 2 p(x 1) 0 · · · · · · 0−1 − h 2 p(x 2) 2 + h 2 q(x 2 ) −1 + h 2 p(x 2) 0 · · · 0B =· · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 · · · · · · −1 − h 2 p(x N−1) 2 + h 2 q(x N−1 ) −1 + h 2 p(x N−1)0 · · · · · · 0 −1 − h 2 p(x N) 2 + h 2 q(x N )[ (h 2 r(x 1 ) + 1 + h )(2 p(x 1) α, h 2 r(x 2 ), . . .,h 2 r(x N−1 ), h 2 r(x N ) + 1 − h ) T2 p(x N) β].⎤⎥⎦Se valgono le ipotesi del Teorema 2.2, il sistema tridiagonale ammette un’unica soluzione purchéh K ≤ 2.Esempio 2.2Consideriamo il problema ai limiti lineare⎧⎨y ′′ = 2⎩ x y′ − 2 sin(log x)x2y + , 1 ≤ x ≤ 2,xy(1) = 1, y(2) = 2,la cui soluzione esatta èy(x) = x ( )2 (4 − x) − x(1 − x) cos(log 2) + sin(log 2) − x22()cos(log x) + sin(log x) .Applicando il metodo alle differenze finite lineare si ottiene il sistema lineare tridiagonale⎡ (⎡⎤2 − h 2 2x 2 −1 + h 2h 2 sin(log x 1)+ 1 + h0 · · · · · · 0x2 x1 1 1 2−1 − h 22 − h 2 22 x 2 x 2 −1 + h 2h 2 sin(log x 2)0 · · · 0x2 x2 2 2X =· · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 · · · · · · −1 − h 22 − h 2 2⎢2 x 8 x 2 −1 + h .22 x8 8h⎥2 sin(log x 8)x 8⎣⎦ ⎢⎣(0 · · · · · · 0 −1 − h 222 − h 2 2x 9 x 2 9h 2 sin(log x 9)x 9+1 − h 2)2αx 1)2βx 9⎤⎥⎦che può essere risolto con il metodo di Thomas. I risultati ottenuti sono riportati nella tabelladi seguito.Anche in questo caso si può utilizzare l’estrapolazione di Richardson per migliorare l’approssimazione.12