Progettazione e realizzazione di una base robotica bilanciante su ...

3.1. Modello del robot 17L’energia cinetica legata al moto del telaio vale quindi:T T = 1 2 m¯v2 + 1 2Īω2= 1 2 M T(R 2 ˙θ2 + L24 ˙α2 + R ˙ϑL ˙αcosα) + 1 2 (1 3 M TL 2 ) ˙α 2= 1 2 M T(R 2 ˙θ2 + L24 ˙α2 + R ˙ϑL ˙αcosα) + 1 6 M TL 2 ˙α 2 (3.24)Unendo i risultati trovati in 3.18 e in 3.24 si può scrivere l’energia cineticatotale del sistema:T= 2T R + T T= 3 2 M R(R ˙ϑ) 2+ 1 2 M T(R 2 ˙θ2 + L24 ˙α2 + R ˙ϑL ˙αcosα) + 1 6 M TL 2 ˙α 2 (3.25)Determinata l’espressione dell’energia cinetica totale del sistema, si puòprocedere con l’esplicitare il valore dell’energia potenziale:U = −M T g(R + L cosα) (3.26)2La variazione dell’energia potenziale U dipende solo dall’angolo α tra il telaioe la direzione dell’accelerazione di gravità:∂U∂ϑ = 0 (3.27)∂U∂α = M Tg L ˙αsinα2(3.28)Le ultime grandezze da valutare sono i contributi non conservativi Q ′ ,che possono essere determinati ricorrendo al principio dei lavori virtuali:∂L = C∂ϑ − C∂α (3.29)È quindi possibile isolare le componenti generalizzate di Lagrange relativealle coordinate lagrangiane ϑ e α:Q ′ ϑ = C (3.30)Q ′ α = −C (3.31)Si può ora procedere con la scrittura delle equazioni di Lagrange, sostituendonella 3.10 le rispettive espressioni. Per quanto riguarda la coordinata