Progettazione e realizzazione di una base robotica bilanciante su ...

7.2. Controllore LQR 77Un generico sistema dinamico a tempo continuo è descritto da equazionidel tipo:ẋ(t) = f(x(t), u(t), t)y(t) = g(x(t), u(t), t) (7.6)Se le funzioni f e g non dipendono esplicitamente dal tempo il sistema sidice invariante nel tempo, o stazionario. Se inoltre le funzioni f e g sonolineari in x e y, ovvero sia ẋ(t) che y(t) sono combinazioni lineari delle variecomponenti dei vettori x(t) e u(t), allora il sistema si dice sistema linearetempo invariante (sistema LTI) e può essere rappresentato nella forma:ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t) (7.7)Il problema del controllo di un pendolo inverso tratta un sistema nonlineare, che quindi deve essere linearizzato nell’intorno di un punto di interesseper poter essere ridotto ad un sistema LTI.Il procedimento della linearizzazione prevede di ricavare le matrici A, B, Ce D mediante il calcolo delle derivate parziali delle funzioni f e g rispettoalle variabili x e u, nell’intorno del punto di equilibrio:∂f(x, u)∂f(x, u)A(t) = ∣ B(t) = ∣∂x x=˜x(t),u=ũ(t) ∂u x=˜x(t),u=ũ(t)∂g(x, u)∂g(x, u)C(t) = ∣ D(t) = ∣ (7.8)∂x x=˜x(t),u=ũ(t) ∂u x=˜x(t),u=ũ(t)Dato un sistema LTI, il controllore LQR permette di ottenere un controlloin retroazione ottimo rispetto ad una funzione di costo quadratica dellostato x(t) e del controllo u(t) [19]. Nella forma tempo continua ad orizzontefinito, la funzione di costo J è definita come:J = 1 ∫ T2 xT (T)F(T)x(T) +0(x T Qx + u T Ru ) dt (7.9)in cui Q e S sono simmetriche e semidefinite positive, mentre R è simmetricae definita positiva.La matrice Q definisce quanto sia il peso di ciascuna variabile di controlloall’interno della funzione costo. Ad esempio, una matrice del tipo:⎡⎢⎣1 0 00 100 00 0 10⎤⎥⎦ (7.10)