Drie-Minuten-Toets (DMT) en AVI - Toetswijzer - Kennisnet

echte waarden en dus ook dat we voor elke leerling de parameter δv met behulp van formule (4) kunnen
uitrekenen.
De schatting van de vaardigheid van leerling v wordt gegeven door
en de standaardfout (SE) door
sv
v
39
v
(6)
( sv
SE v)
(7)
In beide formules betekent s v de geobserveerde somscore die door leerling v is behaald. Merk op dat in dit
model de standaardfout toeneemt met de behaalde score.
4.3.2 Het populatiemodel voor de DMT: de gamma-verdeling
Een groot voordeel van het gebruik van een latente-variabele-model zoals hierboven is beschreven, is dat
men de prestaties van leerlingen zinvol kan vergelijken als de leerlingen verschillende kaarten hebben
gelezen of zelfs een verschillend aantal kaarten. Voor het opstellen van normeringstabellen echter, dient
men voorzichtig te werk te gaan: gebruikmakend van formule (6) hierboven kan men voor elke leerling een
schatting maken van zijn vaardigheid en kan men vervolgens de verdeling van deze schattingen bestuderen
om er normtabellen uit te distilleren. De verdeling is idealitergebaseerd op een (redelijk) grote en
representatieve steekproef uit de populatie. Op zichzelf is hier niets tegen in te brengen, zolang men zich
maar realiseert dat men de verdeling van de vaardigheidsschattingen bestudeert en niet de verdeling van de
vaardigheid. Omdat alle schattingen behept zijn met een schattingsfout (de meetfout) zal de variantie van de
verdeling van de schattingen onvermijdelijk groter zijn dan de variantie van de verdeling van de
vaardigheden zelf. In deze sectie gaan we in op het schatten van de vaardigheidsverdeling, en daarin spelen
de schattingen van de individuele vaardigheden geen enkele rol.
Het basismodel dat wordt gebruikt is oorspronkelijk geïntroduceerd door Owen (1969) en verder uitgewerkt
in Jansen (1986) en Jansen & Van Duijn (1992). Het model stelt dat de latente leesvaardigheid in de
populatie een gamma-verdeling volgt. Een gamma-verdeling is een verdeling voor niet-negatieve continue
variabelen. De kansdichtheidsfunctie (pdf) wordt gegeven door
(
)
1 g( ) e
waarin α en β (beide positief) de parameters zijn van de verdeling, en Γ(.) de gammafunctie is. (Indien het
argument α een geheel getal is, geldt dat Γ(α) = (α-1)!; de gammafunctie kan worden opgevat als een
uitbreiding van de faculteitfunctie tot gebroken getallen.)
De gamma- en de Poisson-verdeling gaan goed samen. Om dit te laten zien, herhalen we formule (1), maar
we schrijven deze nu wat nauwkeuriger op
v
(8)
s
( )
Ps ( | ) e
(9)
s!
waarin het linkerlid duidelijk aangeeft dat het om een conditionele kans gaat gegeven de waarde van de
latente variabele θ en waarbij de parameter δ moet worden begrepen zoals aangegeven door formule (4).
De marginale likelihood, d.i. de kans dat we score s observeren bij een random trekking uit de populatie, is
dan gegeven door
(10)
Ps () Ps ( | ) g(
) d
0
Als we het rechterlid van (8) en (9) substitueren in het rechterlid van (10) en uitwerken, dan krijgen we als
resultaat
( s)
s
Ps () p(1 p)
s!
(
)
(11)