ESCOLA NORMAL SUPERIOR DE COIMBRA

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23. —E evidente que há pontos exteriores à recta.
Atribue-se à linha recta outras propriedades necessárias —
def. II, 3." e 4. a independentes dos axiomas fundamentais de
existência, estabelecendo o seguinte:
Axioma da recta 1 :
1) Existem pontos exteriores à linha recta.
2) Dois pontos 2Í, 33 e todos os pontos da recta 2Í 33 K
são singulares: existe uma só recta com dois pontos singulares
dados, e dois pontos distintos pertencem a uma recta
única.
Toda a recta é determinada por dois quaisquer dos seus
pontos (i), e denota-se por dois pontos, ou por uma letra
minuscula: a recta 5(58, a recta r.
I. — Se a recta AB' tem o ponto A comum à recta AB
e o ponto B' exterior à recta AB, todos os pontos de AB'
distintos de A, são exteriores à recta A B; diz-se que as
rectas AB, AB' se interceptam (4) no ponto A.
De facto, se as rectas tivessem outro ponto comum, distinto
do ponto A, coincidiam (Teor. i) e o ponto B' existia
sôbre a recta AB: Afirma-se, portanto, o seguinte axioma
(cf., n.° 31):
Se duas rectas r, r' teem um ponto comum A, e um ponto
de uma é exterior à outra, as rectas r e r' teem um só ponto
comum A, interceptam-se no ponto A.
1 A existência de uma figura tendo todos os seus pontos singulares,
é uma consequência (3. a cor. 1) deste axioma da recta, e assim só se
admitiria a proposição do n.° 1"2, 3) como axioma, se negássemos o
presente axioma.
Há duas afirmações distintas: a existência de um par de pontos
(A,Bj singular, e a existência da recta eixo de rotação; mas a 1." é um
axioma necessário (n.° 6), e ambas estariam implicitamente na 3.» pro«
posição do n.° 12.