ESCOLA NORMAL SUPERIOR DE COIMBRA

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58 do se sôbre ama recta lixa ou directriz r, gera assim um plano Sr (21, def. n). Se uma recta r' intercepta todas as geratrizes SA, SB, SC,... em os pontos A', B, C',... as rectas SA e SA', SB o SB'.. • coincidem, por terem dois pontos comuns A e A', B e B',. . . SA o SA' são projectantes do qualquer ponto A (ou A') da própria recta SA: pontanto os feixes (Sr) e (Sr') são idênticos. <strong>DE</strong>F. IV. — Diz-se que uma recta pertence a um feixe se tem dois pontos distintos sôbre o feixe. Pôsto isto, estabeleco-se o seguinte: Axioma do plano: 1) Se duas rectas r e r teem um ponto comum A e um ponto de r está fora de r, as rectas r e r' teem um só ponto comum, interceptam-se em A (n.° 23, i). 2) Se uma recta intercepta duas geratrizes em pontos distintos, intercepta todas as geratrizes do feixe em pontos distintos. COR. 1. — Toda a recta que intercepta uma geratriz e uma recta do feixe, intercepta todas as geratrizes, isto é, pertence ao feixe. Poisque se r' intercepta uma recta de (Sr), por êsse ponto do intersecção passa uma geratriz, e portanto r' intercepta esta 2." geratriz e (axioma) todas as outras. 32. — Um feixe de rectas define o plano pelas suas propriedades : TEOR. I. — O plano é definido por uma recta r do feixe e um ponto S fora da recta. Seja S (fig. 15) um ponto existente fora da recta r, e (S r) o feixe (definido pelo ponto S e pela directriz r) gerador do plano S r, e S' e r' um ponto e uma recta pertencentes ao feixe (S r).
59 A hipótese de o ponto S' e a recta r' existirem sôbre (S r) significa (def. iv): a recta r' intercepta duas geratrizes S A, S B de (S r) nos pontos A', B'; e S' é o ponto de intercepção de duas rectas S X, S' A! de (S r), isto é, S' pertence a uma geratriz SX. Projectando de S' os pontos A', B',. . construe-se o Fig. 15 feixe (S' ?•'), e como os seus raios S' A', S' B', S' C',. .. se apoiam sôbre pares de geratrizes SXe SA, SX e SB,... do feixe (S ?•) (axioma), todos os pontos e rectas de (S' ?•') pertencem a (S >•): Portanto (S' r') pertence ao plano S r. Reciprocamente, o raio S'S (ou S'X) de (Sr) é interceptado pela recta ?•' em um ponto X', e portanto S' S é tambfim (cor. 1) uma geratriz do segundo feixe (S' r'): Qualquer ponto P de (S r) pertence a (S' r'), poisque a geratriz SP intercepta a recta ?•' (em Pt) e a geratriz S' S do (S' r') em S, SP pertence (cor. 1) a ôste feixe, e portanto todos os seus
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